補償要素を閉回路の特性から逆に解く方法

いま閉回路のパルス伝達関数を

$$\frac{X(Z)}{R(Z)}= \frac{[HNG](Z)}{1+[HNG](Z)} =K(Z)$$ (3.78)

とすると、これを書き直すと

$$[HNG](Z)=\frac{K(Z)}{1-K(Z)}$$ (3.79)

となる。そこで閉回路のパルス伝達関数$K(Z)$ の形をあらかじめ規定すれば、$[HNG](Z)$ の伝達関数が逆に定まって来て、それより$N(s)$ が求められる。

したがって次のような手順で設計を行う。

#1.

要素性能に基づき$K(Z)$を規定する。

#2.

$[HNG](Z)=\frac{K(Z)}{1-K(Z)}$を求める。

#3.

上式に相当するラプラス伝達関数$F(s)$ を求める。

#4.

$N(s)=F(s)/G(s)H(s)$より補償要素$F(s)$ を求める。

[例] $G(s)=1/s$の補償対象で、ランプ入力に対して 定常偏差を零とする特性をもたせる。

$$E(Z)=R(Z)-X(Z)=R(Z)\{ 1-K(Z) \}$$

ランプ入力の場合

$$R(Z)=\frac{TZ^{-1}}{(1-Z^{-1})^{2}}$$

であるから定常偏差を零にするには

$$\lim_{Z \to 1}\left\{ \frac{TZ^{-1}}{(1-Z^{-1})^{2}} \right... ...} =\lim_{Z\to 1} \frac{TZ^{-1}}{(1-Z^{-1})} \{ 1-K(Z) \} =0$$

とする必要がある。この場合$\{ 1-K(Z) \}$ が $(1-Z^{-1})^{2}$の項を含んでいればよいので

$$1-K(Z)=(1-Z^{-1})^{2}$$

とすると

$$K(Z)=2Z^{-1}-Z^{-2}$$

となり

$$[HNG](Z)=\frac{2Z^{-1}-Z^{-2}}{(1-Z^{-1})^{2}}$$

となる。$H(s)$が零次ホールド回路の場合

$$(1-Z^{-1})Z\left[\frac{N(s)G(s)}{s}\right] =\frac{2Z^{-1}-Z^{-2}}{(1-Z^{-1})^{2}}$$

となり

$$Z\left[\frac{N(s)G(s)}{s}\right]=\frac{Z(2Z-1)}{(Z-1)^{3}} =\frac{Z(Z+1)}{2(Z-1)^{3}} +\frac{3Z}{2(Z-1)^{2}}$$

となる。これを逆$Z$変換して$s$領域に戻すと

$$\begin{eqnarray*} \left[\frac{N(s)G(s)}{S}\right] & = & Z^{-1}\left[ \frac{T^{... ...3}} + \frac{3}{2T} \frac{1}{s^{2}} =\frac{1+3Ts}{2T^{2}s^{3}} \end{eqnarray*}$$

となり、

$$N(s)=\frac{1+3Ts}{2T^{2}s^{3}}\cdot \frac{s}{G(s)} =\frac{1+3Ts}{2T^{2}s}$$

これが求める補償要素の伝達関数である。