有限整定時間応答法

この方法は遅延要素を用いて、有限時間で整定を させる方法である。

いま、図3.33に示すように$k$個の遅延要素と 増幅器を用いると、そのパルス伝達関数は

$$G_{1}(Z)=a_{0}+a_{1}Z^{-1}+a_{2}Z^{-2}+ \cdots +a_{k}Z^{-k}$$

となる。次に図3.34の下側の回路に示すように$\ell$ 個の遅延要素と増幅器を用いてフィードバック回路を 構成すると、そのパルス伝達関数は

$$G_{2}(Z)=\frac{1}{1+b_{1}Z^{-1}+b_{2}Z^{-2}+ \cdots b_{\ell}Z^{-\ell}}$$

となり、図3.34全体のパルス伝達関数は

$$G(Z)=G_{1}(Z)G_{2}(Z)= \frac{a_{0}+a_{1}Z^{-1}+a_{2}Z^{-2}+\... ...{-k}} {1+b_{1}Z^{-1}+b_{2}Z^{-2}+\cdots + b_{\ell}Z^{-\ell}}$$

となる。この式は展開すると無限個の級数になり、 したがって任意の特性を得ることができることを示している。

図 3.33:

図 3.34:

例えば、図3.35の示す回路では

$$\begin{array}{ll} x(nT) &=a_{0}u(nT)+a_{1}u(nT-T) \\ &-b_{1}x(nT-T) \end{array}$$

であるから、$Z$変換すると

$$\begin{array}{ll} X(Z) &=a_{0}U(Z)+a_{1}(Z)Z^{-1} \\ &-b_{1}^{2}(a_{1}-a_{0}b_{1})Z^{-3}-\cdots \end{array}$$

となって、 $a_{0},a_{1},b_{1}$の組み合わせで 種々の形のものができる。そこで、 望ましい応答をあらかじめ定めておいて、 逆にこの補償回路を用いて特性改善をすることが 可能となる。

図 3.35:

設計手順としては

#1.

希望する閉回路パルス伝達関数$K(Z)$を決定する。 これはたとえば有限整定時間で応答するには表3.4の形を採用 する。ただし、制御対象の次数が$r$、むだ時間が$L$であった場合、 $Z^{-n}$の$n$は整定迄の最小サンプリング数を表しているが、 この値を

$1/s$入力に対しては	$r+1+L/T > n \geq r+L/T$
$1/s^{2}$入力に対しては	$r+2+L/T > n \geq r+1+L/T$

#2.

一巡パルス伝達関数$G_{op}(Z)$は$K(Z)/(1-K(Z))$ より求めるが、3.4表にも記載してある。

#3.

制御装置のパルス伝達関数$N(Z)$を次式より決定し、 ((6))式より回路を構成する。

$$N(Z)=\frac{G_{op}(Z)}{[GH](Z)}$$ (3.80)

表 3.4:

	$K(Z)$	$G_{op}(Z)$
	$Z^{-1}$	$\frac{\displaystyle Z^{-1}}{\displaystyle 1-Z^{-1}}$
$1/s$入力に対して	$Z^{-2}$	$\frac{\displaystyle Z^{-2}} {\displaystyle (1-Z^{-1})(1+Z^{-1})}$
	$Z^{-3}$	$\frac{\displaystyle Z^{-3}} {\displaystyle (1-Z^{-1})(1+Z^{-1}+Z^{-2})}$
	$Z^{-4}$	$\frac{\displaystyle Z^{-4}} {\displaystyle (1-Z^{-1})(1+Z^{-1}+Z^{-2}+Z^{-3})}$
	$2Z^{-1}-Z^{-2}$	$\frac{\displaystyle 2Z^{-1}-Z^{-2}} {\displaystyle (1-Z^{-1})^{2}}$
$1/s^2$入力に対して	$3Z^{-2}-2Z^{-3}$	$\frac{\displaystyle 3Z^{-2}-2Z^{-3}} {\displaystyle (1-Z^{-1})^{2}(1+2Z^{-1})}$
	$4Z^{-3}-3Z^{-4}$	$\frac{\displaystyle 4Z^{-3}-3Z^{-4}} {\displaystyle (1-Z^{-1})^{2}(1+2Z^{-1}+3Z^{-2})}$
$1/s^3$入力に対して	$3Z^{-1}+3Z^{-2}+Z^{-3}$	$\frac{\displaystyle 3Z^{-1}+3Z^{-2}+Z^{-3}} {\displaystyle (1-Z^{-2})^{3}}$

[例] $G(s)=\frac{\displaystyle \alpha e^{-sL}} {\displaystyle s+\alpha}$ で$L=T$のとき、 $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle s}$ 入力に対し有限時間で整定をさせる。

$\gamma =1,L=T$であるから、$n=2$となり、 表3.4より

$$G_{op}(Z)=\frac{Z^{-2}} {(1-Z^{-1})(1+Z^{-1})}$$

一方制御対象より

$$[GH](Z)=\frac{(1-e^{-\alpha T})Z^{-2}} {(1-e^{-\alpha T}Z^{-1})}$$

となるから制御装置の伝達関数は

$$\begin{eqnarray*} N(Z) & = & \frac{Z^{-2}}{(1-Z^{-1})(1+Z^{-1})} \cdot \frac{... ...rac{e^{-\alpha T}} {1-e^{\alpha T}}\right) Z^{-1}} {1-Z^{-2}} \end{eqnarray*}$$

となる。いま図3.36のような回路を構成すれば、 パルス伝達関数は

$$N(Z)=\frac{a_{0}+a_{1}Z^{-1}} {1+b_{1}Z^{-1}+b_{2}Z^{-2}}$$

となるから

$$\begin{eqnarray*} a_{0} = & \frac{1}{(1-e^{-\alpha T})} & b_{1}=0 \\ a_{1} = & \frac{e^{-\alpha T}} {(1-e^{-\alpha T})} & b_{2}=-1 \end{eqnarray*}$$

に設定すればよい。すなわち図3.37の ような回路となり、この時の 操作量および制御量の変化は 図3.38のごとくなって、 2サンプリングで整定することがわかる。

図 3.36:

図 3.37:

図 3.38: