• 初期値と最終値
• 最大値と最小値
• $s$領域での推移
• パラメータによる微分、積分
• パラメータの極限
• 時間スケールの変更
• たたみ込みの定理(Convolution)

$Z$変換の諸定理

$Z$変換で用いられる主な定理を示すと次のごとくである。

初期値と最終値

$$\begin{eqnarray*} \mbox{初期値} \lim_{n \to 0} f(nT) & = & \lim_{Z \to \infty} F... ...lim_{n \to \infty} f(nT) & = & \lim_{Z \to 1} \frac{Z-1}{Z} F(Z) \end{eqnarray*}$$

最大値と最小値

$$(Z-1)F(Z)=0$$

のときが、最大値（最小値）である。ゆえに

$$\frac{1}{2 \pi j} \int_{c} F(Z)Z^{n-1}{\mathrm d}Z=0$$

より、最大値（最小値）を生じる$n$が求まる。

$s$領域での推移

$$Z[F(s\pm a)]=F(Z\cdot e^{\pm aT})$$

パラメータによる微分、積分

$$\begin{eqnarray*} {\cal L}\left[ \frac{\partial} {\partial a}f^{*}(t,a) \righ... ...*}(t,a){\mathrm d}a\right] & = & \int_{0}^{a}F(Z,a){\mathrm d}a \end{eqnarray*}$$

$t$領域の微積分は、そのまま$Z$領域で行える。

パラメータの極限

$${\cal L}\lim_{a \to a_{0}}\left[f^{*}(t,a)\right]=\lim_{a\to a_0}F(Z,a)$$

$t$領域の極限は、そのまま$Z$領域の極限に適用できる。

時間スケールの変更

$t$領域で $f(t) \to f(t/a)$ にしたいときは、 $Z$領域では $[F(Z)]_{Z=e^{sT}} \to [F(Z)]_{Z=e^{asT}}$ となる。

たたみ込みの定理(Convolution)

$t$領域で

$${\it y}(mT)=\sum_{n=0}^{\infty}u(nT)g \{ (m-n)T \}$$

の関係があるとき、$m-n=k$とすると$Z$領域では

$$\begin{eqnarray*} Y(Z) & = & \sum_{k=0}^{\infty} g(kT)Z^{-k} \cdot \sum_{n=0}^{\infty}u(nT)Z^{-n} \\ & = & G(Z) \cdot U(Z) \end{eqnarray*}$$

の関係がある。