• 留数による方法
• べき級数の方法

逆$Z$変換

留数による方法

$F(Z)$を逆変換したときには、各サンプル時点のときの値、$f(nT)$が求まる。 その定義式は

$$f_{n}=f(nT) = \frac{1}{2\pi j} \int_{c}F(Z)Z^{n-1}{\mathrm d}Z$$ (3.20)

$$\mbox{ただし、} n=0,1,2,\cdots$$

である。積分路$C$は$F(Z)$の全ての特異点を内部に含むような 閉曲線にとる。

この積分を解くには、Cauchyの定理を適用し、留数を求める。

したがって、$F(Z)$の根が重根を含まない場合の逆$Z$変換の手順は　

#1.

$F(Z) \cdot Z^{n-1}= \frac{A(Z)}{B(Z)}$　とする。

#2.

$B(Z)=0$の根、 $Z_{1},Z_{2},\cdots Z_{m}$を求める。

#3.

$B'(Z)= \frac{{\mathrm d}B(Z)}{{\mathrm d}Z}$を求める。

#4.

$f_{n}=Z^{-1}\left[F(Z)\right]= \sum_{m=1}^{M} \frac{A(Z_{m})}{B'(Z_{m})}$

が解である。

$F(Z)$の根が$k$重根の場合は $B(Z)=(Z-a)^{k}$として

$$f_{n}=Z^{-1}\left[F(Z)\right]=\frac{1}{(k-1)!}\frac{{\mathrm... ...}Z^{k-1}} \left[ \frac{A(Z)}{(Z-a)^{k}}(Z-a)^{k} \right]_{Z=a}$$ (3.21)

より求める。

[例１] 重根を含まない場合

$$F(Z)=\frac{(1-e^{-aT})Z^{-1}} {(1-Z^{-1})(1-e^{-aT}\cdot Z^{-1})}$$ の逆変換を求める。

#1.

$$F(Z)\cdot Z^{n-1}= \frac{A(Z)}{B(Z)} =\frac{(1-e^{-aT})Z^{n}} {(Z-1)(Z-e^{-aT})}$$

#2.

$\begin{array}[t]{l} \displaystyle B(Z)=(Z-1)(Z-e^{-aT})=0 \\ \hspace*{2cm} \displaystyle Z_{1}=1,Z_{2}=e^{-aT} \end{array}$

#3.

$\begin{array}[t]{ll} \displaystyle B'(Z) &=\displaystyle \frac{{\mathrm d}}{{... ...-Z(1+e^{-aT})+e^{-aT} \right\} \\ &=\displaystyle 2Z-(1+e^{-aT}) \end{array}$

#4.

$\begin{array}[t]{ll} \displaystyle f_{n} &=\displaystyle \frac{(1-e^{-aT})Z_... ... {1-e^{-aT}}+ \frac{(1-e^{-aT})e^{-anT}} {e^{-aT}-1}=1-e^{-anT} \end{array}$

[例２] 重根の場合

$$F(Z)=\frac{TZ^{-1}} {(1-Z^{-1})^{2}}$$の逆$Z$変換を求める。

$$\begin{eqnarray*} k=2\mbox{ゆえ} & & \\ f_{n} & = & Z^{-1}\left[\frac{TZ} {(Z... ...& \frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}Z} \left[TZ^{n}\right]_{Z=1}=nT \end{eqnarray*}$$

べき級数の方法

$F(Z)=\frac{N(Z)}{D(Z)}$ で与えられたとき、級数に展開し、

$$F(Z)=\frac{N(Z)}{D(Z)}=a_{0}+a_{1}Z^{-1}+a_{2}Z^{-2}+\cdots +a_{n}Z^{-n}+\cdots$$ (3.22)

となるから、

$$f_{n}=f(nT)=a_{n}$$ (3.23)

より求める。

[例] $$F(Z)=\frac{1} {1-1.2Z^{-1}+0.2Z^{-2}}$$ の逆$Z$変換を求める。

すなわち

$$F(Z)=1+1.2Z^{-1}+1.24Z^{-2}+1.248Z^{-3}+\cdots$$

となり、これを時間領域に戻すと

$$\begin{array}{ll} f^{*}(t) &=1.0\delta (t)+1.2\delta (t-T)+1.24\delta (t-2T) \\ &+1.248\delta (t-3T)+\cdots \end{array}$$

となる。これを図示したのが図3.7である。

これからもわかるように$Z^{-1}$は１サンプリング遅延することを意味している。

図 3.7: