定義

いま図3.8において、サンプラ$S_{1}$と$S_{2}$が同期して開閉する ものとする。入力$u(t)$がサンプリングされてパルス列$u^{*}(t)$ となり、こ れが$G(s)$なる伝達関数をもつ伝達要素に加わる。伝達要素を通過すると各パル スはインパルス応答をするので、伝達要素の出力は再び連続信号となる。すなわ ち出力$x(t)$となる。これを再度サンプリングするとパルス列$x^{*}(t)$となる。

図 3.8:

たとえば、図3.9に示すごとく入力として単位パルス列$u^{*}(t)$ が伝達要素に加わったとする。その場合$t=0$の時点から#1パルスの インパルス応答が現れる。$t=T$の時点ではその応答の一部が まだ残っており、そこに更に#2のパルスのインパルス応答が加わる。 したがって出力パルス列$x^{*}(t)$はこの両者の和となる。

さらに$t=2T$の時点では#3パルスのインパルス応答が加わることになる。

以上のごとく、出力$x^{*}(t)$は各入力パルスのインパルス応答の和となる。

いま一般に入力パルス列を

$$U(Z)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}U_{n}Z^{-n}$$ (3.24)

とする。また出力パルス列を

$$X(Z)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}x_{n}Z^{-n}$$ (3.25)

とする。さらに、伝達要素$G(s)$に単位パルスを加えたときの 出力パルスのパルス列を

$$G(Z)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}g_{n}Z-{-n}$$ (3.26)

とする。

$G(s)$に$U(Z)$のパルス列を加えた時の出力は$t=0$の時点で

$$x_{0}Z^{0}=[g_{0}Z^{0}] \cdot [u_{0}Z^{0}]$$ (3.27)

となり、$t=T$の時点で

$$x_{1}Z^{-1}=[g_{1}Z^{-1}][u_{0}Z^{0}]+[g_{0}Z^{0}][u_{1}Z^{-1}]$$ (3.28)

となる。$t=nT$の時点では

$$x_{n}Z^{-n}=[g_{n}Z^{-n}][u_{0}Z^{0}]+ \cdots +[g_{0}Z^{0}][u_{n}Z^{-n}]$$ (3.29)

となる。$n \to \infty$として以上を合計すると

$$\begin{array}{ll} X(Z) & =\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}... ...}^{\infty}u_+{n}Z^{-n}\right) =G(Z) \cdot U(Z) \\ \end{array}$$ (3.30)

となる。

したがって出力パルス列$X(Z)$と入力パルス列$U(Z)$の比を求めると

$$\frac{X(Z)}{U(Z)} = G(Z) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} g(nT) \cdot Z^{-n}$$ (3.31)

となり、伝達関数$G(s)$の$Z$変換となる。これをパルス伝達関数という。

図 3.9: