パルス伝達関数および固有値

次の離散値系状態方程式

$$\mbox{\boldmath$x$}(k+1)=\mbox{\boldmath$Ax$}(k)+\mbox{\boldmath$Bu$}(k)$$ (4.84)

$$\mbox{\boldmath$y$}(k) = \mbox{\boldmath$Cx$}(k)$$ (4.85)

を$Z$変換すると

$$Z\mbox{\boldmath$X$}(Z)-Z\mbox{\boldmath$x$}(0)=\mbox{\boldmath$AX$}(Z)+\mbox{\boldmath$BU$}(Z)$$ (4.86)

$$\mbox{\boldmath$Y$}(Z) = \mbox{\boldmath$CX$}(Z)$$ (4.87)

となる。ただし $\mbox{\boldmath$x$}(0)$は $\mbox{\boldmath$x$}(k)$の初期値である。 (4.87)式を書き直すと

$$\left(\mbox{\boldmath$I$}-\frac{\mbox{\boldmath$A$}}{Z}\rig... ...ath$x$}(0)+\frac{\mbox{\boldmath$B$}}{Z}\mbox{\boldmath$U$}(Z)$$ (4.88)

さらに

$$\mbox{\boldmath$X$}(Z)=\left(\mbox{\boldmath$I$}-\frac{\mbo... ...rac{\mbox{\boldmath$A$}}{Z}\right)^{-1}\mbox{\boldmath$BU$}(Z)$$ (4.89)

となり、 $\mbox{\boldmath$x$}(0)=0$のときは

$$\mbox{\boldmath$X$}(Z) = \frac{1}{Z}\left(\mbox{\boldmath$I... ...rac{\mbox{\boldmath$A$}}{Z}\right)^{-1}\mbox{\boldmath$BU$}(Z)$$ (4.90)

$$\mbox{\boldmath$Y$}(Z) = \frac{\mbox{\boldmath$C$}}{Z}\lef... ...rac{\mbox{\boldmath$A$}}{Z}\right)^{-1}\mbox{\boldmath$BU$}(Z)$$ (4.91)

となる。したがってパルス伝達関数は

$$\mbox{\boldmath$G$}(Z) = \frac{\mbox{\boldmath$C$}}{Z}\left... ...box{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})^{-1}\mbox{\boldmath$B$}$$ (4.92)

より求められる。

この場合、伝達関数の極は

$$\vert Z\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}\vert=0$$ (4.93)

の根であり、これが固有値となる。また(4.94)式が特性方程式であ る。

［例］離散値系状態方程式が

$$\mbox{\boldmath$x$}(k+1)= \left[ \begin{array}{cc} 0 & 0... ... \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right] u(k)$$

$$y(k) = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array} \right]\mbox{\boldmath$x$}(k)$$

の場合のパルス伝達関数を求める。

$$\begin{eqnarray*} G(Z) &=& \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array} \right]... ...6}\\ &=& \frac{0.2}{Z^2+0.5Z+0.06}= \frac{0.2}{(Z+0.2)(Z+0.3)} \end{eqnarray*}$$

この場合の固有値は$-0.2$および$-0.3$である。