任意入力に対する過渡応答

状態方程式は

$$\mbox{\boldmath$x$}(k+1)=\mbox{\boldmath$Ax$}(k)+\mbox{\boldmath$Bu$}(k)$$ (4.99)

であるから、$k$の各値に対して

$$\left. \begin{array}{lll} \mbox{\boldmath$x$}(1) &=& \mbo... ...\boldmath$B$}\cdot\mbox{\boldmath$u$}(n) \end{array} \right\}$$ (4.100)

となる。これを遷移マトリクスで表示すると

$$\mbox{\boldmath$x$}(k) = \mbox{\boldmath$\Phi$}(k)\mbox{\bo... ...n=0}^{k-1}\mbox{\boldmath$\Phi$}(k-1-n)\mbox{\boldmath$Bu$}(n)$$ (4.101)

となる。この式に各入力信号と初期値を与えれば過渡応答が計算される。

この式と(4.90)式と比較すると右辺の第１項の $\mbox{\boldmath$\Phi$}(k)$の$Z$変換を

$$\mbox{\boldmath$\Phi$}(Z) = \left(\mbox{\boldmath$I$}-\frac{\mbox{\boldmath$A$}}{Z}\right)^{-1}$$ (4.102)

とすると両辺の対応が得られ、第２項の$Z$変換にConvolution（たたみ込み）定理を 適用すると

$$Z\sum_{n=0}^{k-1}\mbox{\boldmath$\Phi$}(k-1-n)\mbox{\boldma... ...rac{\mbox{\boldmath$A$}}{Z}\right)^{-1}\mbox{\boldmath$Bu$}(Z)$$ (4.103)

となるので両式の対応が得られる。

したがって遷移マトリクスは(4.103)式の逆$Z$変換からも得ることが できる。

［例］次のシステム

$$\left. \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{c} x_1(k+1... ... x_1(k) \\ x_2(k) \end{array} \right] \end{array} \right\}$$ (4.104)

の過渡応答を求める。

(4.103)式より遷移マトリクスを求める。

$$\mbox{\boldmath$\Phi$}(Z) = \left(\mbox{\boldmath$I$}-\frac{\mbox{\boldmath$A$}}{Z}\right)^{-... ...eft[ \begin{array}{cc} \frac{Z+a}{Z} & \frac{1}{Z} \\ 0 & 1 \end{array}\right]$$

$$= \left[ \begin{array}{cc} 1 & \frac{1}{Z+a} \\ 0 & \frac{Z}{Z+a} \end{array}\right]$$ (4.105)

$$\mbox{\boldmath$\Phi$}(k) = Z^{-1} \left[ \begin{array}{cc} 1 & \frac{1}{Z+a} \\ 0 & \frac{Z... ...eft[ \begin{array}{cc} \delta(k) & (-a)^{k-1} \\ 0 & (-a)^k \end{array}\right]$$ (4.106)

したがって

$$\left[ \begin{array}{c} x_1(k) \\ x_2(k) \end{array} \... ...] \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]u(n)$$ (4.107)

$$x_1(k) = \delta(k)x_1(0) + (-a)^{k-1}x_2(0) + \sum_{n=0}^{k-1}(-a)^{k-2-n}u(n)$$ (4.108)

ただし、この場合$k$が0の時点以降に現象が生じるので、$k=0$のとき$(-a)^{k-1}$ は0として扱う。すなわち

$$\mbox{\boldmath$\Phi$}(0) = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]$$

$$\mbox{\boldmath$\Phi$}(k) = \left[ \begin{array}{cc} 0 &... ...k \end{array} \right] \ \ \ \mbox{ただし　$ k= 1,2,\cdots $}$$

となり、(4.97),(4.99)式の関係と等しくなる。 (4.109)式の第3項は$n=0$の時の入力$U(0)$は$k=2$の時に始めて現 れてくることを意味している。