線形系の安定判別法

システム方程式

$$\mbox{\boldmath$x$}(k+1) = \mbox{\boldmath$Ax$}(k)$$ (4.131)

リアプノフ関数

$$V(\mbox{\boldmath$x$}) =\mbox{\boldmath$x$}^T\mbox{\boldmath$Px$}$$ (4.132)

とした場合

$$\Delta V(\mbox{\boldmath$x$}) = V[\mbox{\boldmath$x$}(k+1)]-V[\mbox{\boldmath$x$}(k)]$$

$$= \mbox{\boldmath$x$}^T(k+1)\mbox{\boldmath$Px$}(k+1)-\mbox{\boldmath$x$}^T(k)\mbox{\boldmath$Px$}(k)$$

$$= \mbox{\boldmath$x$}^T(k)\mbox{\boldmath$A$}^T\mbox{\boldmath$PAx$}(k)-\mbox{\boldmath$x$}^T(k)\mbox{\boldmath$Px$}(k)$$

$$= \mbox{\boldmath$x$}^T(k)[\mbox{\boldmath$A$}^T\mbox{\boldmath$PA$}-\mbox{\boldmath$P$}]\mbox{\boldmath$x$}(k)$$ (4.133)

となる。 $\mbox{\boldmath$P$}$が正定で $\Delta V(\mbox{\boldmath$x$})$が負であれば漸近安定である。

いま

$$[\mbox{\boldmath$A$}^T\mbox{\boldmath$PA$}-\mbox{\boldmath$P$}]= -\mbox{\boldmath$Q$}$$ (4.134)

とし、 $\mbox{\boldmath$Q$}$を正定にとる。その時(4.135)式より求めた $\mbox{\boldmath$P$}$が正定すなわち シルベスタの条件を満足すればこの系は漸近安定であるといえる。

［例］図4.18の製御系の安定の判別をする。

図 4.18:

伝達関数を部分分数に分解すると

$$\frac{K(Z-\beta)}{(Z-\lambda_1)(Z-\lambda_2)} = \frac{k_1}{Z-\lambda_1}+\frac{K_2}{Z-\lambda_2}$$ (4.135)

となり、これを状態方程式で表示すると

$$\left\{ \begin{array}{l} x_1(k+1) = \lambda_1x_1(k) + K_1... ...\\ x_2(k+1) = \lambda_2x_2(k) + K_2u(k) \end{array} \right.$$ (4.136)

となる。安定判別は自由系で考えればよいから

$$\left\{ \begin{array}{l} x_1(k+1) = \lambda_1x_1(k) \\ x_2(k+1) = \lambda_2x_2(k) \end{array} \right.$$ (4.137)

とし、

$$\mbox{\boldmath$x$}(k+1) = \left[ \begin{array}{cc} \lam... ... \\ 0 & \lambda_2 \end{array} \right]\mbox{\boldmath$x$}(k)$$ (4.138)

となる。いま $\mbox{\boldmath$Q$} = \mbox{\boldmath$I$}$にとると

$$\mbox{\boldmath$A$}^T\mbox{\boldmath$PA$}-\mbox{\boldmath$P... ...eft[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]$$ (4.139)

となり

$$\left[ \begin{array}{cc} p_{11}(\lambda_1^2-1) & p_{12}(\... ...eft[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]$$ (4.140)

となる。したがって

$$\left. \begin{array}{l} p_{12}(1-\lambda_1\lambda_2) = 0 ... ..._1^2) = 1 \\ p_{22}(1-\lambda_2^2) = 1 \end{array} \right\}$$ (4.141)

$\mbox{\boldmath$P$}$ が正定であれば、安定であるから、シルベスタの条件

$$p_{11} > 0 \ \ \ p_{11}p_{22} - p_{12}^2 > 0$$

に上式を代入すると

$$\left. \begin{array}{l} p_{11} = \frac{1}{(1-\lambda_1^2)... ...c{1}{(1-\lambda_1^2)(1-\lambda_2^2)} > 0 \end{array} \right\}$$ (4.142)

より、安定の条件は

$$\vert\lambda_1\vert < 1\ \ \ \vert\lambda_2\vert < 1$$

となる。これは離散値系状態方程式で表した場合、安定の為には特性方程式の根 が単位円内になければならないということを意味している。