リアプノフの安定判別法

連続系の場合と同様、平衡点を包囲し全状態変数より構成され、正定の値をもつ リアプノフ関数 $V(\mbox{\boldmath$x$})$を考える。このリアプノフ関数が各サンプリング毎に 次第に縮小され、 $k\rightarrow\infty$ のとき $\mbox{\boldmath$x$} = \mbox{\boldmath$x$}_e$となり $V(\mbox{\boldmath$x$}_e) = 0$となって停止すれば安定であるといえる。

図 4.17:

いま図4.17のような制御系を考える。この系の状態方程式は、自由系 として次のように書くことができる。

$$\left\{ \begin{array}{l} x_1(k+1)= x_2(k) \\ x_2(k+1)= -Kx_1(k) \end{array} \right.$$ (4.123)

いまリアプノフ関数を次のように定める。

$$V(\mbox{\boldmath$x$}) = x_1^2 + x_2^2$$ (4.124)

このリアプノフ関数は正定であり、これが時間の経過と共に小さくなり原点に達 すれば漸近安定である。そこで$k$番目と$(k+1)$番目を比較し

$$\Delta V[\mbox{\boldmath$x$}(k)] = V[\mbox{\boldmath$x$}(k+1)]-V[\mbox{\boldmath$x$}(k)] < 0$$ (4.125)

となれば、リアプノフ関数が次第に縮小することになる。

ゆえに、(4.126)式に(4.125),(4.124)式を代入すると

$$\Delta V[\mbox{\boldmath$x$}(k)] = [x_1^2(k+1) + x_2^2(k+1)]-[x_1^2(k)+ x_2^2(k)]$$

$$= x_2^2+K^2x_1^2(k)-x_1^2(k)-x_2^2(k)$$

$$= (K^2 - 1)x_1^2(k)$$ (4.126)

となる。したがって

$$(K^2-1) < 0$$ (4.127)

のとき $\Delta V[\mbox{\boldmath$x$}(k)]$が負となり、安定となる。すなわち

$$\vert K\vert < 1$$ (4.128)

が安定の条件である。

一般的にはリアプノフ関数を線形$n$次の系では

$$V = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^np_{ij}x_ix_j$$ (4.129)

ただし $p_{ij} = p_{ji}$で実数　

にとるから、これをベクトル表示すると

$$V(\mbox{\boldmath$x$}) = \mbox{\boldmath$x$}^T\mbox{\boldmath$Px$}$$ (4.130)

$$ただし\ \ \ \mbox{\boldmath$P$} = \left[ \begin{array}{cccc} p_{1... ...dots & \ddots & \vdots \\ p_{1n} & \cdot & \cdots & p_{nn} \end{array} \right]$$

となり、正定の為には $\mbox{\boldmath$P$}$はシルベスタの条件

$$p_{11} > 0\ \ \ \left\vert \begin{array}{cc} p_{11} & p_{1... ...ots \\ p_{1n} & \cdots & p_{nn} \end{array} \right\vert > 0$$

を満足しなければならない。