状態方程式の導入

前章ではサンプリング信号を用いる制御系の理論について単入力、単出力という 古典制御理論的取扱いで述べた。

この章では、サンプリング制御系に状態空間の概念を導入し、多変数系としての 現代制御理論的取扱いについて述べる。通常このような場合、離散値系制御理論 といわれている。

一般に図4.1のようなサンプリング制御系のパルス伝達関数は次式のように分母分子$Z$ の多項式で表示される。

$$\left[\frac{Y(Z)}{U(Z)}\right]= \frac{G(Z)}{1+H(Z)G(Z)}= \... ...^{M} c_{m}Z^{-m}} {\displaystyle 1+\sum_{n=1}^{N} a{n}Z^{-n}}$$ (4.1)

図 4.1:

ただし、分子分母に共通の根がないものとする。例えば、 $M=1,N=2,C_{0}=0$の 場合、(4.1)式は次式となる。

$$\frac{Y(Z)}{U(Z)}= \frac{c_{1}Z^{-1}} {1+a_{1}Z^{-1}+a_{2}Z^{-2}}$$ (4.2)

いま1サンプリング遅延する要素を用いて上式をブロック線図で表示すると図 4.2のように表すことができる。$Z^{-1}$の要素が遅延要素を示して いる。

図 4.2:

この図の $X_{1}(Z),X_{2}(Z)$を状態変数として考えると、図より

$$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} Z\cdot X_{1}(Z)=X_... ...(Z) +U(Z) \end{array}\right.\\ Y(Z)=c_{1}X_{2}(Z) \end{array}$$ (4.3)

と書くことができる。上式を逆$Z$ 変換する。この場合、 $Z^{-1}[X_{1}(Z)]=x_{1}({\it k}T),$ $Z^{-1}[X_{2}(Z)]=x_{2}({\it k}T),Z^{-1}[U(Z)]=u({\it k}T),$ ただし、$T$はサンプリング周期、 $k$は$0,1,2,\cdots$ となるが$T$は省略して、$kT$ を$k$として表示することにする。 また$ZX_{2}(Z)$ということは、$X_{2}(Z)$ の値が1サンプリング遅れて$X_{1}(Z)$ に現れてくることを意味する。 したがって $X_{1}(k+1)=X_{2}(k)$、 すなわち$X_{2}$の$k$ 時点の値が$X_{1}$では$(k+1)$ 時点に現れるということになる。 これより、(4.3)式の逆$Z$ 変換は次式で表示される。

$$\left\{ \begin{array}{l} x_{1}(k+1)=x_{2}(k) \\ x_{2}(k+1)=-a_{2}x_{1}(k) -a_{1}x_{2}(k) +u(k) \end{array}\right.$$ (4.4)

$$y(k)=c_{1}x_{2}(k)$$

$$\mbox{ ただし、}k=0,1,2,\cdots$$

これをマトリクスで表示すると

$$\begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x_{1}(k+1) \\ x_{2... ...{array}{l} x_{1}(k) \\ x_{2}(k) \end{array}\right] \end{array}$$ (4.5)

となる。この形は連続系の状態方程式の形と似ており、これを離散値系の状態方 程式とする。連続系の場合は連立一次微分方程式であったが離散値系の場合は連 立一次差分方程式である。

離散値系状態方程式を一般的に書くと、

$$\left[ \begin{array}{c} x_{1}(k+1) \\ x_{2}(k+1) \\ \vdots \\ x_{n}(k+1) \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ ... ...egin{array}{c} u_{1}(k) \\ u_{2}(k) \\ \vdots \\ u_{r}(k) \end{array}\right]$$ (4.6)

$$\left[ \begin{array}{c} y_{1}(k) \\ y_{2}(k) \\ \vdots \\ y_{m}(k) \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{cccc} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ ... ...n{array}{c} x_{1}(k) \\ x_{2}(k) \\ \ \vdots \\ x_{n}(k) \end{array}\right]$$ (4.7)

となる。さらに上式をベクトル表示すると

$$\mbox{\boldmath$x$}(k+1) = \mbox{\boldmath$Ax$}(k) +\mbox{\boldmath$Bu$}(k)$$ (4.8)

$$\mbox{\boldmath$y$}(k) = \mbox{\boldmath$Cx$}(k)$$ (4.9)

となり、単入力、単出力の時は

$$\mbox{\boldmath$x$}(k+1) = \mbox{\boldmath$ax$}(k) +\mbox{\boldmath$b$}u(k)$$ (4.10)

$$y(k+1) = \mbox{\boldmath$c$}^{T}\mbox{\boldmath$x$}(k)$$ (4.11)

となる。