直接法(Direct Programming)

サンプル値制御装置のように離散値信号のみで、すなわち連続信号を用いずに、 演算や信号変換を行う場合には、遅延要素のみで装置を構成することができる。

その一つの方法として、前例の場合のように1サンプリング遅延要素ごとに状態 変数をとるのが直接法である。

いまパルス伝達関数を一般的に

$$\frac{Y(Z)}{U(Z)}=\frac{c_0+c_1Z^{-1}+\cdots +c_nZ^{-n}}{1+a_1Z^{-1}+a_2Z^{-2}+\cdots +a_nZ^{-n}}$$ (4.12)

で表したとき

$$\frac{Y(Z)}{U(Z)}=\frac{X_1(Z)}{U(Z)}\cdot\frac{Y(Z)}{X_1(Z)}$$ (4.13)

とし、

$$\frac{X_1(Z)}{U(Z)} = \frac{Z^{-n}}{1+a_1Z^{-1}+a_2Z^{-2}+\cdots +a_nZ^{-n}}$$ (4.14)

$$\frac{Y(Z)}{X_1(Z)} = \frac{c_0+c_1Z^{-1}+\cdots +c_nZ^{-n}}{Z^{-n}}$$ (4.15)

とおくと、

$$X_1(Z)Z^{n}+a_1X_1(Z)Z^{n-1}+\cdots +a_nX_1(Z)=U(Z)$$ (4.16)

となる。ここで

$$\left. \begin{array}{rcl} ZX_1(Z) & = & X_2(Z) \\ ZX_2(Z) &... ... & \vdots & \\ ZX_{n-1}(Z) & = & X_n(Z) \end{array}\right\}$$ (4.17)

とおくと、

$$ZX_n(Z)=-a_nX_1(Z)-a_{n-1}X_2(Z)-\cdots -a_1X_n(Z)+U(Z)$$ (4.18)

となる。以上の式を逆Z変換すると、

$$\left. \begin{array}{rcl} x_1(k+1) & = & x_2(k) \\ x_2(k+1)... ..._1(k)-a_{n-1}x_2(k)-\cdots -a_1x_n(k)+u(k) \end{array}\right\}$$ (4.19)

となる。一方

$$Y(Z) = c_0X_1(Z)Z^n+ c_1X_1(Z)Z^{n-1} +\cdots +c_nX_1(Z)$$

$$= (c_n-c_0a_n)X_1(Z) + (c_{n-1} - c_0a_{n-1})X_2(Z) +\cdots + (c_1 - c_0a_1)X_n(Z) + c_0U(Z)$$

$$\equiv \overline{c}_nX_1(Z) + \overline{c}_{n-1}X_2(Z) +\cdots + \overline{c}_1X_n(Z) + c_0U(Z)$$ (4.20)

となる。すなわち状態方程式としては

$$\left[ \matrix{ x_1(k+1) \cr x_2(k+1) \cr \vdots \cr x_... ...box{-1em}\vdots \cr \makebox[0pt]{}\cr 1 \cr } \right]u(k)$$ (4.21)

$$y(k) = \left[ \matrix{ \overline{c}_n& \overline{c}_{n-1}&... ... \cr x_2(k) \cr \vdots \cr x_n(k) \cr } \right] + c_0u(k)$$ (4.22)

ただし、 $\overline{c}_j=c_j-c_0a_j \ \ \ j = 1,2,\cdots,n$

が直接法の表し方である。これをブロック線図に描くと図4.3のようになる。

図 4.3:

これは丁度連続系の相変換の場合に類似しており、$1/s$が$1/Z$になっている形 である。

［例］ ${\displaystyle \frac{0.5-0.4Z^{-1}+0.1Z^{-2}}{1+2Z^{-1}-0.5Z^{-2}+0.2Z^{-3}}}$ を直接法で表示する。

上式では $a_1=2 , a_2 = -0.5 , a_3 = 0.2 , c_0 = 0.5 , c_1 = -0.4 , c_2 = 0.1$ であるから状態方程式は次のようになる。

$$\left[ \begin{array}{c} x_1(k+1) \\ x_2(k+1) \\ x_3(k+1... ...[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] u(k)$$ (4.23)

$$\left. \begin{array}{l} \overline{c}_3= c_3- c_0a_3= -0.1\\ ... ...line{c}_1= c_1- c_0a_1= -1.4 \end{array} \right\}　\mbox{より}$$

$$y(k) = \left[ \begin{array}{ccc} -0.1& 0.35& -1.4 \end{ar... ...x_1(k) \\ x_2(k) \\ x_3(k) \end{array} \right] + 0.5u(k)$$ (4.24)

ブロック線図で描くと、図4.4のようになる。

図 4.4: