概要

断片的線形化法（Piece-wise Linear Method)とは、非線形特性を断片的に線形 化をし、その区間においては線形制御系として取り扱い、区間の切喚点において は、前区間の最終条件をつぎの区間の初期条件としていく方法である。

制御要素の中に非線形特性が含まれている場合も通常は図5.19のように線形要素と 非線形要素に分離して取り扱う。この場合、制御方程式は

$$a_n \frac{d^nx}{dt^n} + \cdots + a_1 \frac{dx}{dt} +a_0x=u$$ (5.74)

と書かれるが、非線形要素が図5.20(a)の様なオン・オフ特性のときは

$$u = \left\{ \begin{array}{ll} +1 & (v > 0) \\ -1 & (v < 0) \end{array} \right.$$ (5.75)

となり、(b)のような飽和特性のときは

$$u= \left\{ \begin{array}{ll} +1 & (v>s) \\ v/s & (+s>v>-s) \\ -1 & (v<-s) \end{array} \right.$$ (5.76)

となり、(c)図のような自乗特性のときは

$$u = \left\{ \begin{array}{ll} 2v & (0<v<2.66) \\ 8v-16 & (2.66<v<4) \end{array} \right.$$ (5.77)

となる。ただし、$0 \le v \le 4$ とする。

図 5.19:

図 5.20:

したがって、$v$の値に応じて、それに対応する$u$の値を用いた線形系として扱い、 $v$の値が次の区間に変わるとき、前の区間の最終条件を次の区間の初期条件と して用いる。

[例]自乗特性をもつ制御系

図 5.21:

図5.21に示すような自乗特性をもつ制御系に$+4$のステップ入力が加わったとする。 図より、$v=4-x$であるから、(5.79)式より

$$u= \left\{ \begin{array}{ll} 16-8x & (0<x<1.34) \\ 8-2x & (1.34<x<4) \end{array} \right.$$ (5.78)

となり、制御方程式は

$$\left\{ \begin{array}{lll} \dot{x} +8x= & 16 & (0<x<1.34) \\ \dot{x} +2x= & 8 & (1.34<x<4) \end{array} \right.$$ (5.79)

となる。最初の区間では$t=0$で$x=0$ゆえ

$$x=-2e^{-8t} +2$$ (5.80)

となり、$t=t_1$で$x=1.34$に達したとすれば

$$t =\hspace{-1em}\raisebox{1.1ex}{.}\hspace{.1em}\raisebox{-0.2ex}{.}\hspace{.3em}0.319$$

となる。これ以後次の区間に入るから、その区間の初期条件を$t=0$で$x=1.34$とすれば

$$x=-2.66e^{-2t}+4$$ (5.81)

となる。すなわち $t=0 \sim 0.139$の間は(5.82)式の特性で、また $t>0.139$では(5.83)特性で表される。これを描いたのが図 5.22である。

図 5.22: