状態遷移法によるシミュレーション

前述のごとく、状態遷移法によってシミュレーションを行う場合一般に

$$\mbox{\boldmath$X$}(k+1)=\mbox{\boldmath$A$}(T)\mbox{\boldmath$X$}(k)+\mbox{\boldmath$B$}(T)u(k)$$ (7.52)

の形で取り扱うのであるが、この式が図7.2のように、サンプリングと ホールドを通して制御対象を駆動するときには、(7.52)式を 同次方程式に変換して取り扱うことができる。

図 7.2:

これを例によって示す。いま制御対象の伝達関数を

$$G(s)=\frac{(s+1)}{(s+2)(s+10)}=\frac{s+1}{s^2+12s+20}$$ (7.53)

とし、これをNested Programmingで表示すると、

$$\left[ \begin{array}{c} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{arra... ... + \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] m(t)$$ (7.54)

$c(t)=x_1$

となる。ここ$m(t)$ではサンプリングをホールドしたものであるから、断片的に 一定値である。したがって

$$m(kT+\tau)=u(kT)$$ (7.55)

但し $0 \leq \tau < T$

で表される。

これは、図7.3に示すごとく、積分器の入力が0で初期値が 各サンプリング時点において$u(kT)$であるのと等価的に考えられる。 このように考えてシステムのブロックダイヤグラムを描くと図7.4の ようになる。

図 7.3:

図 7.4:

この図の状態方程式は次のように書くことができる。

$$\left[ \begin{array}{c} \dot{m} \\ \dot{x}_1 \\ \dot{x}... ...ft[ \begin{array}{c} m \\ x_1 \\ x_2 \end{array} \right]$$ (7.56)

$c=x_1$但し、$0 \leq t < T$

したがって初期値を $m(0),x_1(0),x_2(0)$としたとき、$t=T$のときでは

$$\left[ \begin{array}{c} m(T) \\ x_1(T) \\ x_2(T) \end{... ...n{array}{c} u(0) \\ x_1(0) \\ x_2(0) \end{array} \right]$$ (7.57)

ここで $\mbox{\boldmath$F$}_a$は$\dot{m}$を含めたシステム方程式のシステムマトリックス である。この結果から一般的に

$$\left[ \begin{array}{c} m(k+1) \\ x_1(k+1) \\ x_2(k+1) ... ...n{array}{c} u(k) \\ x_1(k) \\ x_2(k) \end{array} \right]$$ (7.58)

$c(k)=x_1(k)$

として表すことができる。この式は同次方程式であり、この式を用いて シミュレーションをすれば指数項の計算が少なくてすむ利点がある。この場合

$$\mbox{\boldmath$F$}_a = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ \mbox{\boldmath$G$} & \mbox{\boldmath$F$} \end{array} \right]$$ (7.59)

より求められる。

次に離散値系のシミュレーションに際し、サンプリング時点間の挙動を見る 方法について述べる。

いまサンプリング同期$T$に対して、その間の任意の等分時間を$T_s$とし

$$T=\alpha T_s \alpha : 整数$$ (7.60)

とおいたとき、サンプリング時点間の挙動は、例えば$\alpha = 5$の場合

$$\left\{ \begin{array}{l} \mbox{\boldmath$X$}(kT+T_s)=\mbox... ...}(kT+4T_s)+\mbox{\boldmath$B$}(T_s)u(k(T) \end{array} \right.$$ (7.61)

より求められる。

これを同次方程式に変換して求めるときは

$$\left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{c} m(kT+T_s... ...oldmath$X$}(kT+4T_s) \end{array} \right] \end{array} \right.$$ (7.62)

の式を用いる。