Mecanum Whell 方式 4輪の場合

座標系Aにおける一致座標 ${}^Ar$ を座標Bでの点 ${}^Br$ の座標に変換する同次 $（4×4）$ 変換行列を，

$${}^Ar={}^A\Pi _B{}^Br$$ (43)

と表わす． ここで，行列は大きい太字（例えば $\Pi$ ）で表す．例えば， ${}^Ar$ は座標系Aのベクトル $r$ を表す．添え字はベクトルや行列の座標や要素を表す．例えば，変換行列 ${}^A\Pi _B$ は座標系Aに対して座標系Bの位置と方向を規定する．そして $r_x$ はベクトル $r$ の $x$ 成分である． ${}^A\varphi _B$ :A座標系のx軸とB座標系（反時計方向で）の間A座標系のZ軸まわりの回転変位量． $\theta _{i_x}$ ：車輪の軸中心まわりの $C_i$ のx軸に平行な車輪i（i=1,2,3,4に対して）の回転の変位量． $\theta _{i_r}$ ：ローラの軸と並ぶ軸まわりの床と接触した車輪i（i=1,2,3,4に対して）の回転の変位量． $\theta _{i_Z}$ ：車輪の軸中心まわりの $C_i$ のz軸に平行な車輪i（i=1,2,3,4に対して）の回転の変位量． ${}^Ad_{B_j}$ :AとB座標系の原点の間のA座標系のj軸（ $ｊ＝［x,y,z］$ に対して）に沿った変換量． この $WMR$ モデルのある2つのAとBの座標系が零でない $x,y$ と $z$ 座標がお互いに関係するとして位置付けられるので，それぞれの変換行列は変換 ${}^Ad_{B_x}$ と ${}^Ad_{B_y}$ と ${}^Ad_{B_z}$ を含まなければならない．我々は座標系がz軸まわりの関係ですべての回転を走行の表面とz軸が直交するすべての座標系を設定する．すなわち，変換行列 ${}^A\Pi _B$ は座標系Aのz軸まわりの回転変位量 ${}^A\varphi _B$ を包含する．そして変換 ${}^Ad_{B_x}$ と ${}^Ad_{B_y}$ と ${}^Ad_{B_z}$ はそれぞれ座標軸に沿う．

$${}^A\Pi _B=\left( {\matrix{{\cos{}^A\varphi _B}&{-\sin{}^A\... ...d_{B_y}}\cr 0&0&1&{{}^Ad_{B_z}}\cr 0&0&0&1\cr }} \right)$$ (44)

座標変換行列を車輪 $C_i$ に対して表すと, ${}^A\varphi _B\equiv {}^R\varphi _{C_i}=0^\circ$ :

$${}^R\Pi _{C_1}=\left( {\matrix{1&0&0&d\cr 0&1&0&s\cr 0&0&1&0\cr 0&0&0&1\cr }} \right),$$ (45)

$${}^R\Pi _{C_2}=\left( {\matrix{1&0&0&-d\cr 0&1&0&s\cr 0&0&1&0\cr 0&0&0&1\cr }} \right),$$ (46)

$${}^R\Pi _{C_3}=\left( {\matrix{1&0&0&-d\cr 0&1&0&-s\cr 0&0&1&0\cr 0&0&0&1\cr }} \right),$$ (47)

$${}^R\Pi _{C_4}=\left( {\matrix{1&0&0&d\cr 0&1&0&-s\cr 0&0&1&0\cr 0&0&0&1\cr }} \right)$$ (48)

となる． 各車輪iに対するJacobian 行列 $J_i$ は，車輪速度$\dot q_i$の線形結合としてのロボット速度 ${}^{\bar R}p_R$ で，

$${}^{\bar R}p_R=J_i\dot q_i$$ (49)

と表せる．（ここで，$i=1,2,3,4$） ロボット速度ベクトル ${}^{\bar R}p_R$ は，移動ロボット速度 $v_1$ と $v_2$，そして回転ロボット速度 $\dot \psi$ の3成分からなる．全方向移動車輪iの3自由度は，車輪ハブ回転，ローラ回転そして点接触回りの回転の車輪速度ベクトル $\dot q_i$ の3成分からなる： $\dot \theta_{i_r}$ と $\dot \theta_{i_s}$ と $\dot \theta_{i_Z}$ がそれぞれ一致する．全方向車輪Jacobian 行列 $J_i$ は変換行列 ${}^R\Pi _{C_i}$ から構成される．車輪とローラの半径はrとs，ローラの角度は $\alpha$ とする．

$$J_i=\left( {\matrix{{-r_i\sin{}^R\varphi _{C_i}}&{s_i\sin \... ...\alpha _i} \right)}&{{}^Rd_{C_ix}}\cr 0&0&1\cr }} \right)$$ (50)

$J_i$ の決定は( $-r_1\sin{}^R\alpha _{C_i}$ )であるので，(4)式の全方向車輪ヤコビ行列は $\alpha=0$ か180°でない時は一つでない．；例えば，ローラと車輪方向が並んでいない時．ローラの角度が±45°なので，それぞれの車輪ヤコビ行列のランクは3である，それぞれの車輪のは3自由度を示す． 簡単な構成のために，すべての車輪は等しいとする．したがって，すべての車輪とローラの半径は等しい（例えば， $r_1=r_2=r_3=r_4$ と $c_1=c_2=c_3=c_4$ ）．すべて4つの車輪のローラの角度の大きさは同様に等しい．車輪1と2は車輪2と4のローラ角度の逆になるように装着されている．（すなわち， $\alpha _1=\alpha _3=-45^\circ$ と $\alpha _2=\alpha _4=45^\circ$ ）．この全方向車輪に対するJacobian 行列から，それぞれの車輪に対する運動の式を導く： 車輪1の場合：

$$\left( {\matrix{{v_1}\cr {v_2}\cr {\dot \psi }\cr }} \ri... ...\dot \theta _{1_r}}\cr {\dot \theta _{1_Z}}\cr }} \right)$$ (51)

車輪2の場合：

$$\left( {\matrix{{v_1}\cr {v_2}\cr {\dot \psi }\cr }} \ri... ...\dot \theta _{2_r}}\cr {\dot \theta _{2_Z}}\cr }} \right)$$ (52)

車輪3の場合：

$$\left( {\matrix{{v_1}\cr {v_2}\cr {\dot \psi }\cr }} \ri... ...\dot \theta _{3_r}}\cr {\dot \theta _{3_Z}}\cr }} \right)$$ (53)

車輪4の場合：

$$\left( {\matrix{{v_1}\cr {v_2}\cr {\dot \psi }\cr }} \ri... ...\dot \theta _{4_r}}\cr {\dot \theta _{4_Z}}\cr }} \right)$$ (54)