微分の再定義

よく知られるように実数関数

$$% latex2html id marker 717 \varphi \ : \ \mbox{\boldmath $R$}\to \mbox{\boldmath $R$}$$

の $x = \bar{x}$ での $\varphi'(\bar{x})$は

$$\varphi'(\bar{x}) = \lim_{h \to 0} \frac{\varphi'(\bar{x}+h) - \varphi(\bar{x})}{h}$$ (1.1)

で定義されています。
しかし，この定義を$E$のような関数集合に適用することはできません。 分母の

$$\varphi'(\bar{x}+h) - \varphi(\bar{x})$$

は定義できますが，これを$E$の元$h$で割る演算できないからです。

割り算を使わない工夫が必要になります。そこで上記の微分の定義式()を次のように 書き換えてみます。

$$\varphi(\bar{x}+h) - \varphi(\bar{x}) = \varphi'(\bar{x})h + O(h)$$

$$= \varphi'(\bar{x})h + O_1(h)\vert h\vert$$ (1.2)

ただし，

$$O(h)=\varphi(\bar{x}+h) - \varphi(\bar{x}) - \varphi'(\bar{x})h$$

$$O_1(h) = \frac{O(h)}{\vert h\vert},$$

とします。
ここで，$\varphi$が微分可能であれば，上の微分の定義式() の右辺の極限が 左辺と一致するのですから，

$$O_1(h) \to 0 \ (\vert h\vert \to 0)$$

が成立っている。

そこで，$L_{\bar{x}}$が任意の$h$について

$$\varphi(\bar{x}+h) - \varphi(\bar{x}) = L_{\bar{x}} \cdot + O_1(h)\vert h\vert$$ (1.3)

$$O_1(h) \to 0 \ (\vert h\vert \to 0)$$ (1.4)

を充たすとき，この $L_{\bar{x}}$ を $\varphi$ の $x = \bar{x}$での微分 と定義すことにします。

$J(f)$ についても，見かけの形式は

$$J(\bar{f} + \Delta f) - J(\bar{f}) = L_{\bar{f}} \cdot \Delta f + O_1(\Delta f) \cdot \vert\Delta f\vert$$ (1.5)

とするべきでしょう。 このとき，和 $\bar{f}+ \Delta f,$ 積 $L_{\bar{f}} \cdot \Delta f,$ノルム $\vert\Delta f\vert$ はどのような意味を持つか考察しましょう。