アフィン空間$E,\vec{E}$ の構造

ここで

$$\vec{E} = \{f \in C^1[0,1];f(0)=f(1)=0 \}$$

という空間を考えます。

$$\varphi_1 , \varphi_2 \in \vec{E}$$

に対して，

$$\varphi_1 + \varphi_2 \in C^1[0,1]$$

$$(\varphi_1 + \varphi_2)(0) = \varphi_1(0) + \varphi_2(0) = 0$$

$$(\varphi_1 + \varphi_2)(1) = \varphi_1(1) + \varphi_2(1) = 0$$

よって

$$\varphi_1 + \varphi_2 \in \vec{E}$$

また

$$% latex2html id marker 765 \alpha \in \mbox{\boldmath $R$}, \ \alpha \varphi_1 \in \vec{E}$$

さらに， $\varphi \in \vec{E}$ に対して

$$\Vert\varphi\Vert _{C^1} \ \mbox{$\stackrel{\triangle}{=}$}\ \Vert\varphi\Vert _C + \Vert\varphi'\Vert _C$$

とすると $\vec{E}$ は前章で扱ったノルム空間です。

$E$に付随した$\vec{E}$を導入した理由は，次によります。

$$E = \{f \in C^1[0,1];f(0) = 0,f(1) = 1 \}$$

はバナハ空間$C^1[0,1]$の部分集合ではありますが，これの任意の 元 $f,g\in E$ については

$$f + g \in C^1[0,1]$$

$$(f+g)(0) = f(0) + g(0) = 0$$

$$(f+g)(1) = f(1) + g(1) =2$$

となって $f + g \notin E.$ また

$$% latex2html id marker 785 \alpha \in \mbox{\boldmath $R$}, \ \alpha f(1) \ne 1,\ (\alpha \ne 1のとき)$$

であるので $\alpha f \notin E.$ です。つまり$E$は線形空間の構造は持っていません。

ただし

$$f-g \in C^1[0,1]$$

$$(f-g)(0) = f(0)-g(0) =0$$

$$(f-g)(1) = f(1)-g(1) = 0$$

よって $f-g \in \vec{E}$ です。
また，

$$\bar{f} \in E, \ \varphi \in \vec{E}$$

とすると

$$\bar{f}+ \varphi \in \{\bar{f}+ \varphi ;\bar{f} \in E, \varphi \in \vec{E}\} = E$$

です。

ここで$g \in E$とすると

$$g = \bar{f} + g - \bar{f}, \ g - \bar{f} \in \vec{E}$$

より

$$f,g \in E, \ f = g + f - g, \ f-g \in \vec{E}$$

「線形空間もどき」の性質があるわけです。
この空間$E$を(線形空間 $\vec{E}$ をともなう) アフィン空間とよびます。
$E$自身は線形空間ではないが，$E$の元$f \in E$を一つ固定して原点のように 扱えば，

$$\vec{E} = \{ g-f \vert g \in E\}$$

は線形空間になっています。また$f$に変動として $\bar{g}\in \vec{E}$ を加えた$f+\bar{g}$も$E$の元になっています。

以上によって変分法の第１章の議論を再び持ち出すことが可能になりました。 すなわち，まず

$$f \in E, \Delta f \in \vec{E}$$

$$f+ \Delta f \in E$$

とおきます。$E$上の写像

$$% latex2html id marker 825J \ : \ E \to \mbox{\boldmath $R$}$$

について，

$$J(\bar{f}+ \Delta f) - J(\bar{f}) = L_{\bar{f}} \cdot \Delta f + O(\Delta f) \cdot \Vert\Delta f\Vert _C$$

であり，第１章の計算を繰り返して

$$J(\bar{f} + h\Delta f) - J(\bar{f}) = \int_0^1\{(\bar{f}+h\Delta f)'\}^2dx - \int_0^1(\bar{f}')^2dx$$

$$= \int_0^1\{(\bar{f}')^2 + 2\bar{f}' \Delta h + h^2(\Delta \bar{f}')^2\}dx + \int_0^1(\bar{f}')^2dx$$

$$= 2h \int_0^1 \bar{f}'(x) \Delta f'(x)dx + h \int_0^1 h(\Delta f'(x))^2dx$$

を得ます。

さてここで，$h = 1$とすると

$$J(\bar{f} + \Delta f) - J(\bar{f}) = 2\int_0^1\bar{f}'(x) \Delta f'(x)dx + \int_0^1(\Delta f'(x))^2dx$$

このとき(1.5)式の $L_{\bar{f}} \cdot \Delta f$は

$$L_{\bar{f}} \cdot \Delta f = 2\int_0^1 \bar{f}'(x) \Delta f' (x)dx$$

で定義するべきでしょう。
$\Delta f \in \vec{E}$の任意性を考えれば，上の式は$\vec{E}$から $\mbox{\boldmath$R$}$への写像

$$% latex2html id marker 845L_{\bar{f}}\ :\ \varphi \in \vec... ...o 2\int_0^1 \bar{f}'(x) \varphi'(x)dx \in \mbox{\boldmath $R$}$$

を定義しているものと考えらます。