$Fr \acute{e} chet$微分と $G \hat{a} teaux$微分

大分道草を食べましたが,再び最初に扱った変分問題に戻りましょう。 それは汎関数

$$f \in C^1[0,1] \mapsto \ J(f) = \int_0^1\{f'(x)\}^2dx$$

を条件

$$f(0)=0, \ f(1)=1$$

で最小化するものでした。

この問題について，$J(f)$を関数の集合

$$E = \{f \in C^1[0,1], \ f(0)=0, \ f(1)=1 \}$$

から $\mbox{\boldmath$R$}$への写像

$$% latex2html id marker 691 J \ : \ E \to \mbox{\boldmath $R$}$$

について何らかの意味の微分の概念を導入し 実数値関数の極小条件

$$% latex2html id marker 693 \left. \frac{dJ(f)}{df} \right\vert _{f = \bar{f}} = 0$$

のような扱いはできないだろうかという動機で，前章までに， まず定義域である関数の集合についての数学的構造を調べました。
$E$をその部分集合として含む$C^1[0,1]$などは関数空間と呼ばれ，特に Banach空間というものになっていました。
これには，要素 $f,g \in C^1[0,1]$の加算$f+g$と，係数体の元 $\alpha \in {\bf R}$ によるスカラー倍$\alpha f$という代数的な構造（線形空間の構造）が定義され，
要素 $f \in C^1[0,1]$にはノルム$\vert f\vert$も定義され， さらに実数の集合のような収束の扱いも可能でした。

ここでは本題の，これら関数空間上での微分の概念を扱うことにします。

そのためには $Fr \acute{e} chet$微分という概念が必要になってきます。 また，集合$E$だけではなくそれに付随した

$$\vec{E} = \{f \in C^1[0,1],\ f(0)= f(1)=0 \}$$

も用いることになります。