• ケーリー・ハミルトン（Cayley-Hamilton）の定理

状態方程式から伝達関数の誘導

状態方程式

$$\left\{\begin{array}{l} \dot{\mbox{\boldmath$x$}}(t)=\mbox{\... ...ox{\boldmath$C$}\cdot\mbox{\boldmath$x$}(t) \end{array}\right.$$ (2.98)

を初期値を$0$としてラプラス変換すると、

$$\left\{\begin{array}{l} s\mbox{\boldmath$x$}(s)=\mbox{\boldm... ...ox{\boldmath$C$}\cdot\mbox{\boldmath$x$}(s) \end{array}\right.$$ (2.99)

となる。上式より

$$(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})\mbox{\boldmath$x$}(s)=\mbox{\boldmath$B$}\cdot\mbox{\boldmath$u$}(s)$$ (2.100)

となり、従って

$$\mbox{\boldmath$x$}(s)=(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})^{-1}\cdot\mbox{\boldmath$B$}\cdot\mbox{\boldmath$u$}(s)$$ (2.101)

$$\mbox{\boldmath$y$}(s)=\mbox{\boldmath$C$}(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})^{-1}\cdot\mbox{\boldmath$B$}\cdot\mbox{\boldmath$u$}(s)$$ (2.102)

伝達関数行列は

$$\mbox{\boldmath$G$}(s)=\mbox{\boldmath$C$}(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})^{-1}\cdot\mbox{\boldmath$B$}$$ (2.103)

となる。単入力・単出力システムのときは

$$G(s)=\mbox{\boldmath$c$}^T(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})^{-1}\mbox{\boldmath$b$}$$ (2.104)

となる。

$\mbox{\boldmath$G$}(s)$のすべての要素は分母が分子より１次以上高い$s$の有理関数となる。 一般に有理関数行列 $\mbox{\boldmath$M$}(s)$は $\mbox{\boldmath$M$}(\infty)$が$0$でない定数行列のとき プロパ（proper）といい、 $\mbox{\boldmath$M$}(\infty)=0$のとき厳密プロパ（strictly proper）という。（2.103）式の形の $\mbox{\boldmath$G$}(s)$は常に後者となる。

$\mbox{\boldmath$G$}(s)$の分母は $det(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})$であるから

$$det(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})=\vert s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}\vert=0$$ (2.105)

が特性方程式となり、この式の根を固有値（特性根）という。
$[$例$]$

$$\left\{\begin{array}{l} \dot{\mbox{\boldmath$x$}}= \left[\be... ...1 & 0 \end{array}\right]\mbox{\boldmath$x$} \end{array}\right.$$ (2.106)

の場合
$\mbox{\boldmath$A$}= \left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\ -2 & -3 \end{array}\right... ...ce{1cm} \mbox{\boldmath$C$}^T= \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right]$
ゆえ

$$(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})= \left[\begin{array}{c... ...end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} s & -1\\ 2 & s+3 \end{array}\right]$$ (2.107)

$$det(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})=s^2+3s+2$$ (2.108)

$$adj(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})= \left[\begin{array}{cc} s+3 & 1\\ -2 & s \end{array}\right]$$ (2.109)

$$(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})^{-1}=\frac{adj(s\mbox{... ... \frac{\left[\begin{array}{cc} s+3 & 1\\ -2 & s \end{array}\right]} {s^2+3s+2}$$ (2.110)

伝達関数は

$$\mbox{\boldmath$G$}(s) = \mbox{\boldmath$C$}^T(s\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})^{... ...s\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}0 1\end{array}\right]} {s^2+3s+2}$$

$$= \frac{1}{s^2+3s+2}$$ (2.111)

になる。
特性方程式は
$s^2+3s+2=0$
であり、固有値は$-1$および$-2$となる。

ケーリー・ハミルトン（Cayley-Hamilton）の定理

$$(\lambda\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})^{-1}=adj(\l... ...math$A$})/ det(\lambda\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})$$ (2.112)

ゆえ

$$det(\lambda\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})\cdot\mbox{\boldmath$I$} = (\lambda\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})\cdot adj(\lambda\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})$$

$$= adj(\lambda\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})\cdot(\lambda\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})$$ (2.113)

となり、 $(\lambda\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})$の部分と $adj(\lambda\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})$の 部分が交換可能であることがわかる。従ってどちらか一方が$0$のとき 両者の積も$0$となる。
いま

$$det(\lambda\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+ a_1\lambda+a_0$$ (2.114)

とすると

$$det(\lambda\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})\cdot\mbo... ...}+\cdots +a_1\lambda\mbox{\boldmath$I$}+a_0\mbox{\boldmath$I$}$$ (2.115)

になる。 $\lambda\mbox{\boldmath$I$}=\mbox{\boldmath$A$}$を代入すると

$$[det(\lambda\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})\cdot\mbox{\boldmath$I$}]_{\lambda\mbox{\boldmath$I$}=\mbox{\boldmath$A$}} = \mbox{\boldmath$A$}^n+a_{n-1}\mbox{\boldmath$A$}^{n-1}+\cdots+a_1\mbox{\boldmath$A$}+a_0\mbox{\boldmath$I$}\qquad$$

$$= [adj(\lambda\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$})\cdot(\lambda... ...th$I$}-\mbox{\boldmath$A$})]_{\lambda\mbox{\boldmath$I$}=\mbox{\boldmath$A$}}=0$$ (2.116)

となり

$$\mbox{\boldmath$A$}^n+a_{n-1}\mbox{\boldmath$A$}^{n-1}+\cdots+a_1\mbox{\boldmath$A$}+a_0\mbox{\boldmath$I$}=0$$ (2.117)

になる。（2.117）式の関係をケーリー・ハミルトンの定理という。
前例の場合、$a_1=3,a_0=2$ゆえ
$\left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\ -2 & -3 \end{array}\right]^2+3 \left[\begin{ar... ...2 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right]$
となり、同定理の成立することがわかる。