安定の定義

非線形をも含めた場合、安定性については種々の定義が考えられている。

1. 安定(stable)［リアプノフの意味での安定］

   図 2.11: リアプノフの意味での安定

   

   ある $s(\delta)$ の中から出発する解軌道が 図2.11 に示すように $t \rightarrow \infty$ となっても、ある状態空間 $s(\varepsilon)$ よりも外に出ないとき安定という。

   すなわち
   

   $$0 \leq \mbox{\boldmath$x$}_0 \leq \delta$$ (2.145)

   
   
   の初期条件から出発して全時間範囲に対し
   

   $$0 \leq \mbox{\boldmath$x$}(t) \leq \varepsilon$$ (2.146)

   
   
   である。ということで、逆に云えば、ある $\varepsilon$ の範囲を出ないための 初期条件の範囲 $\delta$ が存在すれば安定である。この場合 $\delta$ をどのように 選ぶかは定めてないから局所的であり、大局性はない。
2. 漸近安定(Asymptotically stable)

   上記の安定性を満足していると同時に、原点 $\mbox{\boldmath$x$}_e$ の十分近くから出発した 軌道が最終時間において $\mbox{\boldmath$x$}_e$ に収束する場合を漸近安定という。

   図 2.12: 漸近安定

   

   すなわち 図2.12 に示すように $t = t_0$ において
   

   $$\Vert \mbox{\boldmath$x$}(0) - \mbox{\boldmath$x$}_e \Vert \leq \delta$$ (2.147)

   
   
   より出発し、 $t \geq t_0 + T$ の時間では、
   

   $$\Vert \mbox{\boldmath$x$}(t) - \mbox{\boldmath$x$}_e \Vert \leq \mu$$ (2.148)

   
   
   となる場合で、 $\mu$ は正の実数であるので、十分時間が経つと $\mu$ 以上離れて いるものはないことを示している。然し、出発点 $\mbox{\boldmath$x$}_0$ は全域的であるとは 限らないので大局性はない。

   この収束の仕方が $\mbox{\boldmath$x$}_0$ によらず均一に行われるとき均一漸近安定 (equiasymptotically stable)といい、 $t_0$ によらず均一漸近安定のとき 一様漸近安定(uniformly asymptotically stable)という。

3. 大局的漸近安定(Asymptotically stable in the large)

   上記の意味での安定であり、 $t \rightarrow \infty$ のときすべての軌道が $\mbox{\boldmath$x$}_e$ に収束する場合を大局的漸近安定という。この場合は全状態空間について いうので、 $\mbox{\boldmath$x$}_0$ は必ずしも $\mbox{\boldmath$x$}_e$ の近傍とは限らず大局性がある。

   本章では線形固定系について取り扱うのであるが、その場合はこの安定性の定義が 適用される。