評価関数

システム方程式を

$$\left\{ \begin{array}{l} \dot{\mbox{\boldmath$x$}}=\mbox{\boldmat... ... \mbox{\boldmath$y$}=\mbox{\boldmath$C$}\mbox{\boldmath$x$} \end{array}\right .$$ (2.415)

とした場合、レギュレータ問題では評価関数は通常

$$J=\int_0^{t_f}(\mbox{\boldmath$u$}^T \mbox{\boldmath$R$}\mbo... ...mbox{\boldmath$x$}^T \mbox{\boldmath$Q$}\mbox{\boldmath$x$})dt$$ (2.416)

で与えられるが、トラッキング問題では目標入力を $\tilde{\mbox{\boldmath$y$}}$で表示すると、 追随性を良くするため $(\mbox{\boldmath$y$}-\tilde{\mbox{\boldmath$y$}})$を含む評価関数として

$$J=\int_0^{t_f}[\mbox{\boldmath$u$}^T \mbox{\boldmath$R$}\mbo... ...ldmath$Q$}(\mbox{\boldmath$y$}-\tilde{\mbox{\boldmath$y$}})]dt$$ (2.417)

のようにすればよい。

しかしシステムによっては出力の変化が急激でないことが望ましい場合もある。 その時は評価関数として

$$J=\int_0^{t_f}[\mbox{\boldmath$u$}^T \mbox{\boldmath$R$}\mbo... ...math$Q$}_2(\mbox{\boldmath$y$}-\tilde{\mbox{\boldmath$y$}})]dt$$ (2.418)

のように、 $\mbox{\boldmath$x$}^T \mbox{\boldmath$Q$}_1 \mbox{\boldmath$x$}$の項を含めることが考えられる。 ところがこの項は $\mbox{\boldmath$x$}$をできるだけ小さくしようと作用し、 $(\mbox{\boldmath$y$}-\tilde{\mbox{\boldmath$y$}})$は $\tilde{\mbox{\boldmath$y$}}$に近づけるために $\mbox{\boldmath$x$}$ を大きくしようと作用するので両者が相反する。そこでいま $\mbox{\boldmath$x$}$を

$$\mbox{\boldmath$x$}=\mbox{\boldmath$x$}_a+\mbox{\boldmath$x$}_b$$ (2.419)

$$ただし、\mbox{\boldmath$C$}^T\mbox{\boldmath$h$}=\mbox{\boldmath$x$}_a,\mbox{\boldmath$C$}\mbox{\boldmath$x$}_b=0$$

というように、 $\mbox{\boldmath$x$}_a$と $\mbox{\boldmath$x$}_b$を直交する成分に分ける。 $\mbox{\boldmath$h$}$はあるベクトルである。こうすると

$$\mbox{\boldmath$y$}=\mbox{\boldmath$C$}\mbox{\boldmath$x$}=\... ...mbox{\boldmath$x$}_b)=\mbox{\boldmath$C$}\mbox{\boldmath$x$}_a$$ (2.420)

となり、 $\mbox{\boldmath$x$}_a$は $\tilde{\mbox{\boldmath$y$}}$に従う成分、 $\mbox{\boldmath$x$}_b$は基準線近傍 の変動する成分として考えられる。したがって上記評価関数中の $\mbox{\boldmath$x$}^T \mbox{\boldmath$Q$}_1 \mbox{\boldmath$x$}$の代わりに、 $\mbox{\boldmath$x$}_{b}^T \mbox{\boldmath$Q$}_3 \mbox{\boldmath$x$}_{b}$ を入れると $(\mbox{\boldmath$y$}-\tilde{\mbox{\boldmath$y$}})$とは反しなくなる。(2.426)式より

$$\mbox{\boldmath$C$}\mbox{\boldmath$C$}^T\mbox{\boldmath$h$}=\mbox{\boldmath$C$}\mbox{\boldmath$x$}_a=\mbox{\boldmath$C$}\mbox{\boldmath$x$}$$ (2.421)

$$\mbox{\boldmath$h$}=(\mbox{\boldmath$C$}\mbox{\boldmath$C$}^T)^{-1}\mbox{\boldmath$C$}\mbox{\boldmath$x$}$$ (2.422)

になるので、

$$\mbox{\boldmath$x$}_b=\mbox{\boldmath$x$}-\mbox{\boldmath$x$... ...x{\boldmath$C$}^T)^{-1}\mbox{\boldmath$C$}]\mbox{\boldmath$x$}$$ (2.423)

となる。そこで

$$\mbox{\boldmath$Q$}_1=[\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$C... ...x{\boldmath$C$}\mbox{\boldmath$C$}^T)^{-1}\mbox{\boldmath$C$}]$$ (2.424)

とおけば

$$\mbox{\boldmath$x$}^T \mbox{\boldmath$Q$}_1 \mbox{\boldmath$... ...ldmath$x$}_{b}^T \mbox{\boldmath$Q$}_3 \mbox{\boldmath$x$}_{b}$$ (2.425)

となり、これが応答を滑らか$(smooth)$にする評価を分担する。

[例]

$$\mbox{\boldmath$x$}=\left[\begin{array}{c} x_1\\ x_2 \end{array}... ...d \mbox{\boldmath$c$}=\left[\begin{array}{cc} 1&1 \end{array}\right] とした場合$$

$$\mbox{\boldmath$h$}=\frac12\left[\begin{array}{cc} 1&1 \end{array... ...ht] \left[\begin{array}{c} x_1\\ x_2 \end{array}\right]= \frac12x_1+\frac12x_2$$ (2.426)

$$\mbox{\boldmath$x$}_a=\left[\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\r... ...gin{array}{c} \frac12x_1+\frac12x_2\\ \frac12x_1+\frac12x_2 \end{array}\right]$$ (2.427)

$$\mbox{\boldmath$x$}_b=\left[\begin{array}{c} x_1\\ x_2 \end{arra... ...in{array}{c} \frac12x_1-\frac12x_2\\ -\frac12x_1+\frac12x_2 \end{array}\right]$$ (2.428)

である。このとき

$$\mbox{\boldmath$cx$}_a = \left[\begin{array}{cc} 1&1 \end{array}\right] \left[\begin{array... ...12x_2\\ \frac12x_1+\frac12x_2 \end{array}\right]= x_1+x_2=\mbox{\boldmath$cx$}$$ (2.429)

$$\mbox{\boldmath$cx$}_b = \left[\begin{array}{cc} 1&1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} \frac12x_1-\frac12x_2\\ -\frac12x_1+\frac12x_2 \end{array}\right]=0$$ (2.430)

になることが分る。

いまここで

$$\tilde{\mbox{\boldmath$y$}}=\mbox{\boldmath$C$}\tilde{\mbox{\boldmath$x$}}$$ (2.431)

なる $\tilde{\mbox{\boldmath$x$}}$を規定すると、この $\tilde{\mbox{\boldmath$x$}}$は目標値 $\tilde{\mbox{\boldmath$y$}}$ なる出力を出すための状態変数であることを意味する。この $\tilde{\mbox{\boldmath$x$}}$は

$$\tilde{\mbox{\boldmath$x$}}=\mbox{\boldmath$C$}^T(\mbox{\boldmath$C$}\mbox{\boldmath$C$}^T)^{-1}\tilde{\mbox{\boldmath$y$}}$$ (2.432)

で表される。

ここで

$$\mbox{\boldmath$Q$}=\mbox{\boldmath$Q$}_1+\mbox{\boldmath$C$}^T\mbox{\boldmath$Q$}_2\mbox{\boldmath$C$}$$ (2.433)

としたとき

$$(\mbox{\boldmath$x$}-\tilde{\mbox{\boldmath$x$}})^T \mbox{\boldmath$Q$}(\mbox{\boldmath$x$}-\tilde{\mbox{\boldmath$x$}}) = (\mbox{\boldmath$x$}-\tilde{\mbox{\boldmath$x$}})^T \mbox{\boldma... ...dmath$Q$}_2\mbox{\boldmath$C$}(\mbox{\boldmath$x$}-\tilde{\mbox{\boldmath$x$}})$$

$$= \mbox{\boldmath$x$}^T \mbox{\boldmath$Q$}_1\mbox{\boldmath$x$}-\t... ...+\tilde{\mbox{\boldmath$x$}}^T \mbox{\boldmath$Q$}_1\tilde{\mbox{\boldmath$x$}}$$

$${}+(\mbox{\boldmath$y$}-\tilde{\mbox{\boldmath$y$}})^T \mbox{\boldmath$Q$}_2(\mbox{\boldmath$y$}-\tilde{\mbox{\boldmath$y$}})$$ (2.434)

となるが(2.431)式,(2.438)式,(2.439)式より

$$\tilde{\mbox{\boldmath$x$}}^T\mbox{\boldmath$Q$}_1 = \tilde{\mbox{\boldmath$x$}}^T [\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmat... ...ldmath$C$}^T(\mbox{\boldmath$C$}\mbox{\boldmath$C$}^T)^{-1}\mbox{\boldmath$C$}]$$

$$= [\{\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$C$}^T(\mbox{\boldmath$C$}\... ...ldmath$C$}^T(\mbox{\boldmath$C$}\mbox{\boldmath$C$}^T)^{-1}\mbox{\boldmath$C$}]$$

$$= 0$$ (2.435)

同様にして

$$\mbox{\boldmath$Q$}_1\tilde{\mbox{\boldmath$x$}} = [\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$C$}^T(\mbox{\boldmath$C$}\mb... ...h$C$}\mbox{\boldmath$C$}^T)^{-1}\mbox{\boldmath$C$}]\tilde{\mbox{\boldmath$x$}}$$

$$= 0$$ (2.436)

となるので、(2.441)式は

$$\mbox{\boldmath$x$}^T \mbox{\boldmath$Q$}_1\mbox{\boldmath$x... ...\boldmath$Q$}(\mbox{\boldmath$x$}-\tilde{\mbox{\boldmath$x$}})$$ (2.437)

となる。したがって(2.425)式の評価関数は

$$J=\int_0^{t_f}[\mbox{\boldmath$u$}^T \mbox{\boldmath$R$}\mbo... ...dmath$Q$} (\mbox{\boldmath$x$}-\tilde{\mbox{\boldmath$x$}})]dt$$ (2.438)

で表示をすれば、滑らかさを考慮したものとなる。この場合(2.440) 式で表される $\mbox{\boldmath$Q$}$のうち $\mbox{\boldmath$Q$}_1$が滑らかさを、 $\mbox{\boldmath$Q$}_2$が目標への追随性 を良くするための重み係数となる。