一般的手法

次に連続系の状態方程式から、離散値系の状態方程式への一般的な変換法につい て述べる。

いま、連続系の状態方程式を

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}}(t) = \mbox{\boldmath$Fx$}(t) + \mbox{\boldmath$Gv$}(t)$$ (4.61)

とする。この解は、

$$\mbox{\boldmath$x$}(t) = e^{\mbox{\boldmath$F$}t}\mbox{\bol... ...boldmath$F$}(t-\tau)}\mbox{\boldmath$Gv$}(\tau){\mathrm d}\tau$$ (4.62)

である。前述の例と同様、$t=0 \sim T$について考え、初期状態として $\mbox{\boldmath$v$}(\tau)$を $\mbox{\boldmath$v$}(0) = \mbox{\boldmath$u$}(0)$とし、$t=T$の最終状態は次のように なる。

$$\mbox{\boldmath$x$}(T) = e^{\mbox{\boldmath$F$}T}\mbox{\bol... ...x{\boldmath$F$}(T-\tau)}\mbox{\boldmath$Gv$}(0){\mathrm d}\tau$$ (4.63)

いま

$$\mbox{\boldmath$A$}(T) \equiv e^{\mbox{\boldmath$F$}T}$$ (4.64)

$$\mbox{\boldmath$B$}(T) \equiv \int_0^Te^{\mbox{\boldmath$F$}(T-\tau)}\mbox{\boldmath$G$}{\mathrm d}\tau = \int_0^Te^{\mbox{\boldmath$F$}T}\mbox{\boldmath$G$}{\mathrm d}t$$

$$= \int_0^T\mbox{\boldmath$A$}(t)\mbox{\boldmath$G$}{\mathrm d}t$$ (4.65)

ただし　$t=T-\tau$

とすれば、

$$\mbox{\boldmath$x$}(T) = \mbox{\boldmath$A$}(T)\mbox{\boldmath$x$}(0) + \mbox{\boldmath$B$}(T)\mbox{\boldmath$u$}(0)$$ (4.66)

となる。任意のサンプリング時点では $\mbox{\boldmath$x$}(T)\rightarrow\mbox{\boldmath$x$}(k+1), \mbox{\boldmath$x$}(... ...mbox{\boldmath$x$}(k), \mbox{\boldmath$u$}(0)\rightarrow \mbox{\boldmath$u$}(k)$のようにおき かえて

$$\mbox{\boldmath$x$}(k+1) = \mbox{\boldmath$A$}(T)\mbox{\boldmath$x$}(k) + \mbox{\boldmath$B$}(T) \mbox{\boldmath$u$}(k)$$ (4.67)

とすれば離散値系の状態方程式となる。したがって、 $\mbox{\boldmath$A$}(T),\mbox{\boldmath$B$}(T)$は (4.65),(4.66)式より求めればよい。

［例1］

$$\left[ \begin{array}{c} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{ar... ...t] + \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]v$$ (4.68)

より離散値系の状態方程式を求める。

上式より

$$\mbox{\boldmath$F$} = \left[ \begin{array}{cr} 0 & 1 \\ ... ...G$} = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]$$

したがって

$$\mbox{\boldmath$A$}(T) = e^{\mbox{\boldmath$F$}T} = {\cal L}^{-1}\{(s\mbox{\boldmath$I$}-\... ...[ \begin{array}{cc} s & -1 \\ 0 & s + a \end{array}\right]^{-1} \right\}_{t=T}$$

$$= {\cal L}^{-1} \left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{s} & \frac{1}{s(s... ...t[ \begin{array}{cc} 1 & \frac{1-e^{-at}}{a} \\ 0 & e^{-at} \end{array}\right]$$ (4.69)

$$\mbox{\boldmath$B$}(T) = \int_0^T \left[ \begin{array}{cc} 1 & \frac{1-e^{-at}}{a} \\ 0 &... ...\begin{array}{c} \frac{1-e^{-at}}{a} \\ e^{-at} \end{array}\right]{\mathrm d}t$$

$$= \left[ \begin{array}{c} \frac{aT + e^{-aT} -1}{a^2} \\ \frac{1-e^{-aT}}{a} \end{array}\right]$$ (4.70)

となり、状態方程式は

$$\left[ \begin{array}{c} x_1(k+1) \\ x_2(k+1) \end{arra... ...-aT}-1}{a^2} \\ \frac{1-e^{-aT}}{a} \end{array} \right]u(k)$$ (4.71)

となる。

［例2］デジタル回路を含む制御系

計算機制御系のようにデジタル回路を含む制御系では、制御対象は前項で述べた ような連続系としての状態変数をとり、デジタル部分では直接法等による状態変 数を用いる必要がある。

図 4.14:

いま次のような制御系を例として考える。デジタル回路のパルス伝達関数を次式 とする。

$$G(Z) = \frac{1.2-0.4Z^{-1}}{1+0.25Z^{-1}}$$ (4.72)

図 4.15:

これを直接法で表示すると $a_1=0.25,c_0=1.2,c_1=-0.4$となるから中間変数を $x_3$として

$$\left\{ \begin{array}{l} x_3(k+1)=-0.25x_3(k)+e_1(k) \\ e_2(k)=-0.7x_3(k)+1.2e_1(k) \end{array} \right.$$ (4.73)

が得られる。

制御対象は、Phase variableで表示すると

$$\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=x_2 \\ \dot{x}_2=-2x_1-3x_2+v \end{array} \right.$$ (4.74)

となり

$$\left[ \begin{array}{c} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{ar... ...t] + \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]v$$ (4.75)

より

$$\mbox{\boldmath$F$} = \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ ... ...$G$}= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]$$

これを(4.23)式に代入して $\mbox{\boldmath$A$}(T)$を求める場合、 ()式を用いて遷移行列 $e^{\mbox{\boldmath$F$}t}$を求め$t=T$とすると

$$\mbox{\boldmath$A$}(T)= \left[ \begin{array}{cc} 2e^{-T}... ... \\ -2e^{-T}+2e^{-2T} & 2e^{-2T}-e^{-T} \end{array} \right]$$ (4.76)

また遷移行列を(4.66)式に代入すると

$$\mbox{\boldmath$B$}(T) = \left[ \begin{array}{c} -e^{-T}... ...-2T}}{2}+\frac{1}{2} \\ -e^{-2T}+e^{-T} \end{array} \right]$$ (4.77)

となり、離散値系の状態方程式は

$$\left[ \begin{array}{c} x_1(k+1) \\ x_2(k+1) \end{arra... ...2}+\frac{1}{2} \\ -e^{-2T}+e^{-T} \end{array} \right]e_2(k)$$ (4.78)

で表される。これを今簡単のため

$$\left[ \begin{array}{c} x_1(k+1) \\ x_2(k+1) \end{arra... ...ft[ \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right]e_2(k)$$ (4.79)

で表す。

一方図より

$$e_1(t) = u(t)-K_1x_1(t)-K_2x_2(t)$$ (4.80)

から、各サンプリング時点では次式となる。

$$e_1(k) = u(k)-K_1x_1(k)-K_2x_2(k)$$ (4.81)

(4.80)式の$e_2(k)$に(4.74)式および (4.82)式を代入し、$e_2(k),e_1(k)$を消去すると次式が得られる。

$$\left\{ \begin{array}{l} x_1(k+1)=(a_{11}-1.2b_1K_1)x_1(k... ...k+1)=-K_1x_1(k)-K_2x_2(k)-0.25x_3(k)+u(k) \end{array} \right.$$ (4.82)

これより状態方程式は

$$\begin{array}{l} \left[ \begin{array}{c} x_1(k+1) \\ x_... ...2 \\ 1 \end{array} \right]u(k)\\ y(k) = x_1(k) \end{array}$$ (4.83)

で表される。