• 概念
• 非正方行列の逆行列
• 最小非正方逆行列
• 最小エネルギ制御への適用

最小エネルギ制御

概念

前項で述べたように$N>n$の場合は目標値に到達する以外に他の拘束を加える ことができる。そこで任意の初期状態 $\mbox{\boldmath$x$}(0)$から目標値 $\mbox{\boldmath$x$}_D$に$N$サンプリングで到達させると共に、その制御に要するエネルギを最小にする場 合を考える。

制御エネルギとしては、単入力の場合

$$E_N = \sum_{k=0}^{N-1}u^2(k)$$ (4.157)

と定義する。

もし$N<n$の場合は目標値には到達できない。その時は目標値と最終状態変数との差、 すなわち誤差ベクトルの測度

$$[\mbox{\boldmath$x$}_D-\mbox{\boldmath$x$}(N)]^T[\mbox{\boldmath$x$}_D-\mbox{\boldmath$x$}(N)]$$ (4.158)

を最小にするように考える。 $\mbox{\boldmath$x$}_D=0$のときは

$$\Vert \mbox{\boldmath$x$}(N) \Vert = \sum_{i=1}^{n}x_i^2(N)$$ (4.159)

となる。

目標値に到達する為には(4.150)式から

$$\mbox{\boldmath$x$}(0)-\mbox{\boldmath$A$}^{-N}\mbox{\boldmath$x$}_D = \mbox{\boldmath$F$}_N\mbox{\boldmath$u$}_N$$ (4.160)

を満足する $\mbox{\boldmath$u$}_N$を定めればよい。特に $\mbox{\boldmath$x$}_D=0$のときは

$$\mbox{\boldmath$x$}(0) = \mbox{\boldmath$F$}_N\mbox{\boldmath$u$}_N$$ (4.161)

となる。

$\mbox{\boldmath$F$}_N$は$n\times N$の非正方行列である。したがって $\mbox{\boldmath$u$}_N$を求めるためには 非正方行列の逆行列を求めなければならない。

非正方行列の逆行列

いま連立方程式

$$\left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + ... ..._1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nm}x_m = b_n \end{array} \right.$$ (4.162)

をマトリクス表示すると

$$\mbox{\boldmath$Ax$} = \mbox{\boldmath$b$}$$ (4.163)

ただし

$$\mbox{\boldmath$A$} = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & ... ...y}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right]$$

となる。$m=n$のときは

$$\mbox{\boldmath$x$} = \mbox{\boldmath$A$}^{-1}\mbox{\boldmath$b$}$$ (4.164)

として扱えるが、$m \neq n$のときは

$$\left\{ \begin{array}{l} \mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmat... ...ox{\boldmath$A$} = \mbox{\boldmath$I$}_m \end{array} \right.$$ (4.165)

ただし、 $\mbox{\boldmath$I$}_n$は$n\times n$の単位マトリクス

$\mbox{\boldmath$I$}_m$は$m\times m$の単位マトリクス

とする。 $\mbox{\boldmath$A$}^R$をright inverse, $\mbox{\boldmath$A$}^L$をleft inverse という。 これを用いると(4.164)式の解 $\mbox{\boldmath$x$}$は

$$\mbox{\boldmath$x$} = \mbox{\boldmath$A$}^R\mbox{\boldmath$b$}$$ (4.166)

と書ける。何故ならこの式に $\mbox{\boldmath$A$}$を左から掛けると

$$\mbox{\boldmath$Ax$} = \mbox{\boldmath$AA$}^R\mbox{\boldmath$b$} = \mbox{\boldmath$b$}$$ (4.167)

となって　(4.164)式となるからである。いま$b = 0$の場合、すなわち

$$\mbox{\boldmath$Ax$}=0$$ (4.168)

という同次方程式を考える。この時

$$\mbox{\boldmath$x$} = (\mbox{\boldmath$I$}_m -\mbox{\boldmath$A$}^R\mbox{\boldmath$A$})\mbox{\boldmath$y$}$$ (4.169)

が解となる。何故なら $\mbox{\boldmath$A$}$を左から掛けると

$$\mbox{\boldmath$Ax$} = \mbox{\boldmath$A$}(\mbox{\boldmath$... ...\mbox{\boldmath$A$}-\mbox{\boldmath$A$})\mbox{\boldmath$y$} =0$$ (4.170)

となるからである。ここで $\mbox{\boldmath$y$}$は$m\times 1$の任意のベクトルである。したがって (4.164)式の一般解は

$$\mbox{\boldmath$x$} = \mbox{\boldmath$A$}^R\mbox{\boldmath$... ...- \mbox{\boldmath$A$}^R\mbox{\boldmath$A$})\mbox{\boldmath$y$}$$ (4.171)

となり、 $\mbox{\boldmath$y$}$は任意ゆえ $\mbox{\boldmath$x$}$は無数に存在し、 $\mbox{\boldmath$A$}^R$も多数存在す る。

［例］

$$\left\{ \begin{array}{l} x_1 + 2x_2 = 3 \\ x_2 + 2x_3 = 3 \end{array} \right.$$ (4.172)

の場合

$$\mbox{\boldmath$A$} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 ... ...h$b$} = \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array} \right]$$

であるが、任意の $\mbox{\boldmath$A$}^R$として次の場合を考える。

$$\mbox{\boldmath$A$}^R = \left[ \begin{array}{cr} 1 & 2 \\ 0 & -1 \\ 0 & 1 \end{array} \right]$$ (4.173)

これは

$$\mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$A$}^R = \left[ \begin{ar... ...left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]$$ (4.174)

となりright inverseを満足する。

$$\mbox{\boldmath$A$}^R\mbox{\boldmath$b$} = \left[ \begin{ar... ...\left[ \begin{array}{r} 9 \\ -3 \\ 3 \end{array} \right]$$ (4.175)

$$\mbox{\boldmath$A$}^R\mbox{\boldmath$A$} = \left[ \begin{ar... ...1 & 4 & 4 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right]$$ (4.176)

$$( \mbox{\boldmath$I$}_m - \mbox{\boldmath$A$}^R\mbox{\boldm... ... & -4 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & -1 \\ \end{array} \right]$$ (4.177)

$$\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}... ...y_2-4y_3 \\ 2y_2+2y_3 \\ -y_2-y_3 \\ \end{array} \right]$$ (4.178)

いま $y_2 + y_3 = \alpha$とすると

$$\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}... ...pha \\ -3 + 2\alpha \\ 3 - \alpha \\ \end{array} \right]$$ (4.179)

となり$\alpha$についての無限の解が得られる。

最小非正方逆行列

上記のごとく非正方逆行列は無数存在するので、その中から $\mbox{\boldmath$x$}$の解を 最小にする場合を求める。すなわち(4.172)式の一般解を用いて

$$\Vert \mbox{\boldmath$x$} \Vert = \sum_{i=1}^{m}(x_{0i})^2 ... ...x{\boldmath$A$}^R\mbox{\boldmath$A$})\mbox{\boldmath$y$}\Vert]$$ (4.180)

とし、上式が最小となるように $\mbox{\boldmath$y$}$を定める。すなわち

$$\Vert\mbox{\boldmath$x$}\Vert = [\mbox{\boldmath$A$}^R\mbox... ...-\mbox{\boldmath$A$}^R\mbox{\boldmath$A$})\mbox{\boldmath$y$}]$$ (4.181)

とし $\mbox{\boldmath$y$}$で偏微分し

$$\frac{\partial \Vert\mbox{\boldmath$x$}\Vert}{\partial \mbox... ...-\mbox{\boldmath$A$}^R\mbox{\boldmath$A$})\mbox{\boldmath$y$}]$$ (4.182)

これを0とするときの $\mbox{\boldmath$y$}$を $\mbox{\boldmath$y$}_0$とした場合

$$(\mbox{\boldmath$I$}_m-\mbox{\boldmath$A$}^R\mbox{\boldmath$... ...x{\boldmath$A$}^R\mbox{\boldmath$A$})\mbox{\boldmath$y$}_0] =0$$ (4.183)

となる。いま(4.181)式が最小となる場合の $\mbox{\boldmath$x$}$を $\mbox{\boldmath$x$}_0$とし、 その場合の $\mbox{\boldmath$A$}^R$を $\mbox{\boldmath$A$}^{RM}$としたとき

$$\mbox{\boldmath$x$}_0=\mbox{\boldmath$A$}^{RM}\mbox{\boldma... ...\mbox{\boldmath$A$}^R\mbox{\boldmath$A$})\mbox{\boldmath$y$}_0$$ (4.184)

となる。この両辺に $(\mbox{\boldmath$I$}_m-\mbox{\boldmath$A$}^R\mbox{\boldmath$A$})^T$を左から掛けると

$$(\mbox{\boldmath$I$}_m-\mbox{\boldmath$A$}^R\mbox{\boldmath... ...{\boldmath$A$}^R\mbox{\boldmath$A$})\mbox{\boldmath$y$}_0] = 0$$ (4.185)

となる。したがって

$$\mbox{\boldmath$A$}^{RM}\mbox{\boldmath$b$} = (\mbox{\boldm... ...{\boldmath$A$}^{RT}\mbox{\boldmath$A$}^{RM}\mbox{\boldmath$b$}$$ (4.186)

と書ける。両辺に前から $\mbox{\boldmath$A$}$を掛けると

$$\mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$A$}^{RM}\mbox{\boldmath$... ...{\boldmath$A$}^{RT}\mbox{\boldmath$A$}^{RM}\mbox{\boldmath$b$}$$ (4.187)

となり、これより

$$(\mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$A$}^T)^{-1}\mbox{\boldm... ...{\boldmath$A$}^{RT}\mbox{\boldmath$A$}^{RM}\mbox{\boldmath$b$}$$ (4.188)

となるので、これを再び(4.187)式の右辺に代入すると

$$\mbox{\boldmath$A$}^{RM}\mbox{\boldmath$b$} = \mbox{\boldmat... ...ox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$A$}^T)^{-1}\mbox{\boldmath$b$}$$ (4.189)

となって

$$\mbox{\boldmath$A$}^{RM} = \mbox{\boldmath$A$}^T(\mbox{\boldmath$AA$}^T)^{-1}$$ (4.190)

の関係が得られる。これは $\mbox{\boldmath$A$}$が$n$の階数のときの最小非正方逆行列であり、 これをPseudo Inverseともいう。

$\mbox{\boldmath$A$}$が$m$の階数のときは

$$\mbox{\boldmath$x$}_D = \mbox{\boldmath$A$}^{LM}\mbox{\boldmath$b$}$$ (4.191)

とし、

$$\mbox{\boldmath$A$}^{LM} = (\mbox{\boldmath$A$}^T\mbox{\boldmath$A$})^{-1}\mbox{\boldmath$A$}^T$$ (4.192)

より最小非正方逆行列が得られる。

［例］前例における最小値を求める。

$$\mbox{\boldmath$A$} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 ... ...h$b$} = \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array} \right]$$

であるから

$$\mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$A$}^T = \left[ \begin{ar... ...left[ \begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 2 & 5 \end{array} \right]$$ (4.193)

$$[ \mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$A$}^T]^{-1} = \frac{1}{2... ...2}{21} \\ \frac{-2}{21} & \frac{5}{21} \end{array} \right]$$ (4.194)

$$\mbox{\boldmath$A$}^{RM} = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 ... ...}{21} \\ \frac{-4}{21} & \frac{10}{21} \end{array} \right]$$ (4.195)

となり

$$\mbox{\boldmath$x$}_0 = \mbox{\boldmath$A$}^{RM}\mbox{\bold... ...c{3}{9} \\ \frac{9}{7} \\ \frac{6}{7} \end{array} \right]$$ (4.196)

が最小値である。前例の結果の(4.180)式より

$$\left\{ \begin{array}{l} x_1 = 9 - 4 \alpha \\ x_2 = -3 + 2\alpha \\ x_3 = 3 - \alpha \end{array} \right.$$ (4.197)

を用いて

$$\Vert \mbox{\boldmath$x$} \Vert = x_1^2 +x_2^2 +x_3^2 = (9-4\alpha)^2+(-3 + 2\alpha)^2 + (3-\alpha)^2$$

$$= 99 - 90\alpha + 21\alpha^2$$ (4.198)

とし、$\alpha$に対する $\Vert\mbox{\boldmath$x$}\Vert$の最小値を求めると

$$\frac{ \partial \Vert\mbox{\boldmath$x$}\Vert}{ \partial \alpha} = -90 +42\alpha = 0$$ (4.199)

$$\alpha = \frac{15}{7}$$ (4.200)

となるので、これを(4.196)式に代入すると

$$\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}... ...c{3}{7} \\ \frac{9}{7} \\ \frac{6}{7} \end{array} \right]$$ (4.201)

となって、(4.197)式と同一の結果が得られる。

最小エネルギ制御への適用

(4.162)式で示したように、$N>n$のときは

$$\mbox{\boldmath$x$}(0) = \mbox{\boldmath$F$}_N\mbox{\boldmath$u$}_N$$ (4.202)

で表される。$N$サンプリングで状態ベクトルを0とする最小の $\mbox{\boldmath$u$}$を $\mbox{\boldmath$u$}_0$ とした場合、この式は(4.164)式に対応し、 $\mbox{\boldmath$x$}(0)$が $\mbox{\boldmath$b$}$に、 $\mbox{\boldmath$F$}_N$が $\mbox{\boldmath$A$}$に、 $\mbox{\boldmath$u$}_N$が $\mbox{\boldmath$x$}$に相当する。したがっ て、(4.158)式で定義したエネルギを最小にする制御は $\Vert\mbox{\boldmath$u$}_N\Vert$ を最小にする $\mbox{\boldmath$F$}_N$の逆行列の問題となり、(4.191)式より

$$\mbox{\boldmath$u$}_0 = \mbox{\boldmath$F$}^T(\mbox{\boldmath$F$}\mbox{\boldmath$F$}^T)^{-1}\mbox{\boldmath$x$}(0)$$ (4.203)

より求められる。そのときの制御エネルギは

$$\Vert\mbox{\boldmath$u$}_0\Vert = \sum_{i=0}^{N-1}(u_{0i})^2$$ (4.204)

である。もし任意のに対して最小エネルギ制御をしようとするならば、 図4.19のような制御器を用いればよい。

図 4.19:

［例］いま4.6節(1)項の例で与えられたシステム

$$\mbox{\boldmath$x$}(k+1) = \left[ \begin{array}{cc} 1 & ... ...[ \begin{array}{c} 0.368 \\ 0.632 \end{array} \right]u(k)$$ (4.205)

の最小エネルギ制御を求める。

$\mbox{\boldmath$f$}_k = -\mbox{\boldmath$A$}^k\mbox{\boldmath$B$}$の$k=1\sim 4$を適用して $\mbox{\boldmath$F$}_4$を求めると

$$\mbox{\boldmath$F$}_4 = \left[ \begin{array}{rrrr} 0.717 &... ... \\ -1.717 & -4.671 & -12.696 & -34.513 \end{array} \right]$$ (4.206)

となる。これより

$$\mbox{\boldmath$F$}_4\mbox{\boldmath$F$}_4^T = \left[ \begi... ...} 1273.9 & -1323.5 \\ -1323.5 & 1377.1 \end{array} \right]$$ (4.207)

$$(\mbox{\boldmath$F$}_4\mbox{\boldmath$F$}_4^T)^{-1} = \left... ...cc} 0.5225 & 0.5022 \\ 0.5022 & 0.4833 \end{array} \right]$$ (4.208)

が得られ

$$\mbox{\boldmath$F$}^{RM} = \mbox{\boldmath$F$}_4^T(\mbox{\b... ...0.2643 & -0.2632 \\ 0.1794 & 0.1473 \\ \end{array} \right]$$ (4.209)

となる。したっがて最小エネルギ制御の為の入力は

$$\left[ \begin{array}{c} u(0) \\ u(1) \\ u(2) \\ u(3)... ...eft[ \begin{array}{c} x_1(0) \\ x_2(0) \end{array} \right]$$ (4.210)

となり、もし$x_1(0),x_2(0)$が

$$\left[ \begin{array}{c} x_1(0) \\ x_2(0) \end{array} \r... ... \begin{array}{r} -40.9067 \\ 43.5067 \end{array} \right]$$ (4.211)

で与えられたとき

$$\left[ \begin{array}{c} u(0) \\ u(1) \\ u(2) \\ u(3)... ...63 \\ -0.5352 \\ -0.6408 \\ -0.9277 \end{array} \right]$$ (4.212)

が各サンプリングごとに加える制御入力となり

$$\sum_{i=0}^{3}u_i^2 = u(0)^2 + u(1)^2 + u(2)^2 + u(3)^2= 1.8040$$ (4.213)

がエネルギである。

同様にして$N = 3,N= 2$について求めると

$$\left[ \begin{array}{c} u(0) \\ u(1) \\ u(2) \end{ar... ...ay}{r} 1.0732 \\ -0.1602 \\ -3.5230 \end{array} \right]$$ (4.214)

$$\sum_{i=0}^{3}u_i^2 = 13.5186$$ (4.215)

$$\left[ \begin{array}{c} u(0) \\ u(1) \end{array} \righ... ... \begin{array}{r} 10.6225 \\ -13.2225 \end{array} \right]$$ (4.216)

$$\sum_{i=0}^{1}u_i^2 = 287.6720$$ (4.217)

となる。以上より、$N$を$n$に近くとるほど全エネルギが大きくなり、また $u_i$も大きくなる。したがって$u_i$に制限がある場合には、$u_i$が制限値を 越えないように$N$の値を増大させる。前例で$\vert u_i\vert\leq1$と制限したときは $N\geq4$となる。