レギュレータ問題

いまレギュレータ問題として、任意の初期条件 $\mbox{\boldmath$x$}(0)$から、目標値 $\mbox{\boldmath$x$}_D$に 有限時間で到達させるのに、どのような入力を加えたらよいかという問題を考え る。

システム方程式を

$$\mbox{\boldmath$x$}(k+1) = \mbox{\boldmath$Ax$}(k) + \mbox{\boldmath$b$}u(k)$$ (4.143)

の単入力系とする。もしこのシステムが可制御であれば、4.4節 (4)項で述べたように

$$\mbox{\boldmath$f$}_k = -\mbox{\boldmath$A$}^{-k}\mbox{\boldmath$b$}$$ (4.144)

としたとき、ベクトルの組 $[\mbox{\boldmath$f$}_1,\mbox{\boldmath$f$}_2,\cdots,\mbox{\boldmath$f$}_N]$のうち$n$個の 線形独立なベクトルが存在する。

いま$N$サンプリングの時の状態変数は(4.111)式より

$$\mbox{\boldmath$x$}(N) = \mbox{\boldmath$A$}^N\mbox{\boldm... ...+\cdots +\mbox{\boldmath$Ab$}u(N-2)+\mbox{\boldmath$b$}u(N-1)$$ (4.145)

である。これが目標値となるためには

$$\mbox{\boldmath$x$}(N) = \mbox{\boldmath$x$}_D$$ (4.146)

でなければならない。(4.147)式の両辺に $-\mbox{\boldmath$A$}^{-N}$を掛ける と

$$-\mbox{\boldmath$A$}^{-N}\mbox{\boldmath$x$}_D = -\mbox{\boldmath$x$}(0)-\mbox{\boldmath$A$}^{-1}\mbox{\boldmath$b... ...box{\boldmath$b$}u(1)-\cdots -\mbox{\boldmath$A$}^{-N}\mbox{\boldmath$b$}u(N-1)$$ (4.147)

$$\mbox{\boldmath$x$}(0)-\mbox{\boldmath$A$}^{-N}\mbox{\boldmath$x$}_D = \mbox{\boldmath$f$}_1u(0)+\mbox{\boldmath$f$}_2u(1)+\cdots+\mbox{\boldmath$f$}_Nu(N-1)$$ (4.148)

$$\mbox{\boldmath$x$}(0)-\mbox{\boldmath$A$}^{-N}\mbox{\boldmath$x$}_D = \mbox{\boldmath$F$}_N\mbox{\boldmath$u$}_N$$ (4.149)

となる。ここに $\mbox{\boldmath$F$}_N$は$n\times N$マトリクスである。もし$N=n$で可制御 ならば $\mbox{\boldmath$F$}_n$は特異行列とはならないから逆行列が可能である。したがって

$$\mbox{\boldmath$u$}_n=\mbox{\boldmath$F$}_n^{-1}[\mbox{\boldmath$x$}(0)-\mbox{\boldmath$A$}^{-n}\mbox{\boldmath$x$}_D]$$ (4.150)

が得られる。このような $\mbox{\boldmath$u$}_n$、すなわち $u(0),u(1),\cdots,u(n)$を加えれ ば目標値に到達させることができる。

もし$N>n$の場合には $\mbox{\boldmath$F$}_n$は非正方行列となり、 $\mbox{\boldmath$u$}_n$は一意ではなく なる。したがって他の拘束条件（例えば入力の制御等）を加えることができる。

［例］与えられたプラントの連続系状態方程式を

$$\dot{\mbox{\boldmath$x$}}(t) = \left[ \begin{array}{cc} ... ...+ \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]u(t)$$ (4.151)

とし、初期値 $\mbox{\boldmath$x$}(0) = \displaystyle\left[ \begin{array}{c} x_1(0) \\ x_2(0) \end{array} \right]$　 から、目標値 $\mbox{\boldmath$x$}_D = \displaystyle\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right]$ に到達させる場合を考える。ただしサンプリング周期$T=1$秒の場合とする。

ホールド回路と結合した場合の離散値系の状態方程式は4.3節(2)項の手法により

$$\mbox{\boldmath$x$}(k+1) = \left[ \begin{array}{cc} 1 & ... ...[ \begin{array}{c} 0.368 \\ 0.632 \end{array} \right]u(k)$$ (4.152)

となる。二次系なので$N=2$とし(4.145)式の$k=1,2$について求めると

$$\begin{eqnarray*} \mbox{\boldmath$f$}_1 & = & -\mbox{\boldmath$A$}^{-1}\mbox{\b... ... \left[ \begin{array}{r} 3.672 \\ -4.671 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$$

となるので

$$\mbox{\boldmath$F$}_2 = \left[ \begin{array}{cc} \mbox{\boldmath$f$}_1 & \mbox{\boldmath$... ...= \left[ \begin{array}{rr} 0.718 & 3.671 \\ -1.718 & -4.671 \end{array}\right]$$ (4.153)

$$\mbox{\boldmath$F$}_2^{-1} = \left[ \begin{array}{rr} -1.582 & -1.243 \\ 0.582 & 0.243 \end{array}\right]$$ (4.154)

となる。ゆえに(4.151)式の $\mbox{\boldmath$x$}_D=0$として

$$\left[ \begin{array}{c} u(0) \\ u(1) \end{array} \righ... ...ft[ \begin{array}{c} x_1(0) \\ x_2(0) \end{array} \right]$$ (4.155)

が求める入力である。

もし上例で$N=3$とした場合

$$\mbox{\boldmath$f$}_3 = -\mbox{\boldmath$A$}^{-3}\mbox{\bo... ...t[ \begin{array}{r} 11.696 \\ -12.696 \end{array} \right]$$

が加わり、(4.150)式は $\mbox{\boldmath$x$}_D=0$の場合

$$\left[ \begin{array}{c} x_1(0) \\ x_2(0) \end{array} \... ...begin{array}{c} u(0) \\ u(1) \\ u(2) \end{array} \right]$$ (4.156)

となる。

この式は二つの式に対して未知数が三つあるので、一つの$u$は任意に定めるこ とができる。このように$N>n$の場合はそれだけ他の条件を加えて$u$を決定 することができる。