繰り返し法(Iterative Programming)

(4.12)式はまた次のように書くことができる。

$$\frac{Y(Z)}{U(Z)} = \frac{\alpha(Z+Z_1)(Z+Z_2)\cdots(Z+Z_m)} {(Z+p_1)(Z+p_2)\cdots(Z+p_n)}$$ (4.44)

これを図4.9のように分けて考える。ただし

$$\alpha_1\cdot\alpha_2\cdot\cdots\cdot\alpha_n=\alpha$$ (4.45)

であり、$n > m$であるとする。図より

$$X_n(Z) = \frac{\alpha_n}{Z+p_n}U(Z)$$ (4.46)

より

$$ZX_n(Z) = -p_nX_n(Z) + \alpha_nU(Z)$$ (4.47)

となる。$X_{m+1}(Z)$のところまでは同様にして

$$ZX_{m+1}(Z) = -p_{m+1}X_{m+1}(Z) + \alpha_{m+1}X_{m+2}(Z)$$ (4.48)

となる。$X_m(Z)$のところは

$$ZX_m(Z) = -p_mX_m(Z) + \alpha_m(Z+Z_m)X_{m+1}(Z)$$

$$= -p_mX_m(Z)+\alpha_m(Z_m-p_{m+1})X_{m+1}(Z)+\alpha_m\alpha_{m+1}X_{m+2}(Z)$$ (4.49)

となり、以下$X_1(Z)$まで同様の方法で求める。したがって、一般的に状態方程式は

$$\left[ \begin{array}{c} x_1(k+1) \\ x_2(k+1) \\ \vdots \\ x_m(k+1) \\ \vdots \\ x_n(k+1) \end{array} \right] =$$

$$\left[ \begin{array}{ccccccc} -p_1 & \alpha_1(Z_1-p_2) & \alpha_1... ...}{c} 0 \\ 0 \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ \alpha_n \end{array} \right]u(k)$$

という形になる。

図 4.9:

［例］ ${\displaystyle \frac{Y(Z)}{U(Z)} = \frac{3(Z+5/3)}{(Z+2)(Z+3)}}$ の場合

図4.10のように状態変数をとると$X_2(Z)$のところは

$$ZX_2(Z) = -2X_2(Z) + 3U(Z)$$ (4.50)

となり、$X_1(Z)$のところは

$$ZX_1(Z) = -3X_1(Z) + (Z +5/3)X_2(Z)$$

$$= -3X_1(Z) +\frac{5}{3}X_2(Z) +ZX_2(Z)$$

$$= -3X_1(Z) + \frac{5}{3}X_2(Z) -2X_2(Z) + 3U(Z)$$

$$= -3X_1(Z) -\frac{1}{3}X_2(Z) +3U(Z)$$ (4.51)

となる。したがって状態方程式は

$$\begin{array}{rcl} \left[ \begin{array}{c} x_1(k+1) \\ ... ... 3 \end{array} \right]u(k)\\ y(k) & = & x_1(k) \end{array}$$ (4.52)

となる。

図 4.10: