部分分数分解法(Diagonal Form)

(4.12)式を部分分数に分解すると、次のようになる。

$$\frac{Y(Z)}{U(Z)} = \frac{K1}{Z-\lambda_1}+\frac{K_2}{Z-\lambda_2}+\cdots + \frac{K_n}{Z-\lambda_n}$$ (4.35)

ただし、 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$はパルス伝達関数の固有値である。

$$ZX_1(Z) = \lambda_1X_1(Z)+K_1U(Z)$$ (4.36)

より

$$x_1(k+1) = \lambda_1x_1(k)+K_1u(k)$$ (4.37)

以下同様にして一般的に状態方程式は

$$\left[ \begin{array}{c} x_1(k+1) \\ x_1(k+1) \\ \vdots ... ...c} K_1 \\ K_2 \\ \vdots \\ K_n \end{array} \right]u(k)$$ (4.38)

$$y(k) = x_1(k) + x_2(k) + \cdots + x_n(k)$$ (4.39)

で表される。これをブロック線図で表示すると、図4.7のようになる。

図 4.7:

多重根のある場合は、例えば

$$\frac{Y(Z)}{U(Z)} = \frac{Z}{(Z-\lambda_1)^2(Z-\lambda_3)}$$ (4.40)

のとき

$$Y(Z) = \frac{K_1}{(Z-\lambda_1)^2}U(Z) + \frac{K_2}{(Z-\lambda_1)}U(Z) + \frac{K_3}{(Z-\lambda_3)}U(Z)$$ (4.41)

となるから、状態変数を

$$\left. \begin{array}{l} X_1(Z) = \frac{1}{(Z-\lambda_1)^2... ... \\ X_3(Z) = \frac{1}{Z-\lambda_3}U(Z) \end{array} \right\}$$ (4.42)

にとれば、状態方程式は

$$\left. \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{c} x_1(k+1... ...y(k) = K_1x_1(k) + K_2x_2(k) + K_3x_3(k) \end{array} \right\}$$ (4.43)

となる。

多重根のある場合のシステムマトリクスは、(a)主対角線は固有値となり、(b)主 対角線の下の要素は全部0、(c)主対角線の上は、二つの等しい固有値の両方に最 も近い所の要素が1（または他の定数）になり、他の要素は0となる。

上例をブロック線図に表示すると図4.8となる。

図 4.8:

この部分分数分解法は連続系の正準変数(Jordan形)の場合に類似している。