Eulerの方法

これは状態変数$x_i(t)$のテーラー展開から近似をする最も簡単な 方法である。

図7.1に示すごとく$T$をきざみ幅としたとき

$$x_i(t+T)=\hspace{-1em}\raisebox{1.1ex}{.}\hspace{.1em}\raisebox{-0.2ex}{.}\hspace{.3em}x_i(t)+T\cdot \dot{x_i}(t)$$ (7.4)

とする。そして

$$\left\{ \begin{array}{l} x_i(t+T)=x_i(k+1) \\ x_i(t)=x_i(k) \end{array} \right.$$ (7.5)

とすれば、

$$x_i(k+1)=x_i(k)+Tf_i(x_1,x_2,\cdots ,x_n,k)$$ (7.6)

となり、これがEulerの近似である。

図 7.1:

[例]

$$\ddot{x}+a\dot{x}+bx=1$$ (7.7)

但し　$t\geq 0$

の場合

$$\left\{ \begin{array}{l} \dot{x_1}=x_2 \\ \dot{x_2}=-bx_1-ax_2+1 \end{array} \right.$$ (7.8)

と表示し、Euler近似を用いると

$$\left\{ \begin{array}{l} x_1(k+1)=x_1(k)+Tx_2(k) \\ x_2(k+1)=x_2(k)+T \{ -bx_1(k)-ax_2(k)+1 \} \end{array} \right.$$ (7.9)

となり、$k$時点から$(k+1)$時点が求められる。

ここで、$T$は数値積分に使用するきざみ幅である。

この方法は線形、非線形の両方に使用できるが精度は余り良くない。

(7.9)式をマトリックス表示すると、

$$\left[ \begin{array}{c} x_1(k+1) \\ x_2(k+1) \end{array}... ...ight] + \left[ \begin{array}{c} 0 \\ T \end{array} \right]$$ (7.10)

となり、これより固有値を求めると

$$\left\vert \begin{array}{cc} 1-\lambda & T \\ -bT & 1-aT-\lambda \end{array} \right\vert = 0$$ (7.11)

より

$$\lambda = \left( 1-\frac{aT}{2} \right) \pm T\sqrt{ \left( \frac{a^2}{4}-b \right) }$$ (7.12)

となる。いま$a=0.2,b=0.1$の場合

$$\lambda_{1,2} =(1-0.1T)\pm j0.3T$$ (7.13)

もし、$T=0.1$に選ぶと

$$\lambda_{1,2} =0.99\pm j0.03$$ (7.14)

$$\vert\lambda_{1,2}\vert =\hspace{-1em}\raisebox{1.1ex}{.}\hspace{.1em}\raisebox{-0.2ex}{.}\hspace{.3em}0.99 \leq 1$$ (7.15)

であり、この解は収束する。しかし、$T=2$に選ぶと、

$$\lambda_{1,2} =0.8\pm j0.6$$ (7.16)

$$\vert\lambda_{1,2}\vert = 1$$ (7.17)

となる。したがって$T>2$では不安定となり解は発散をする。 このように$T$の選択に十分注意を払う必要がある。