Tustinの方法

この方法は、基本的には微分方程式を差分方程式で近似したものである。 $Z$変換の式は

$$Z=e^{sT}$$ (7.18)

であるから、

$$s=\frac{1}{T}\ln Z$$ (7.19)

として、これを級数展開すると、

$$s=\frac{2}{T} \left\{ \frac{Z-1}{Z+1}+\frac{1}{3} \left( \f... ...+ \frac{1}{5}\left( \frac{Z-1}{Z+1} \right) ^5+\cdots \right\}$$ (7.20)

となる。この第一項のみで近似をし

$$s =\hspace{-1em}\raisebox{1.1ex}{.}\hspace{.1em}\raisebox{-0.2ex}{.}\hspace{.3em}\frac{2}{T}\frac{1-Z^{-1}}{1+Z^{-1}}$$ (7.21)

とおいて、連続系の伝達関数を離散値系の伝達関数に置換をして取り扱う 方法である。

[例1]

$$G(s)=\frac{as+b}{s(s+c)}$$ (7.22)

の場合、上式の$s$を(7.21)式で置換をし

$$G(Z) = \frac{ a \left( \frac{\displaystyle{2}}{\displaystyle{T}}\frac{\d... ...splaystyle{T}}\frac{\displaystyle{1-Z^{-1}}}{\displaystyle{1+Z^{-1}}} \right) }$$

$$= \frac{ (2aT+bT^2)+2bT^2Z^{-1}+(bT^2-2aT)Z^{-2} } { (4+2cT)-8Z^{-1}+(4-2cT)Z^{-2} }$$ (7.23)

として取り扱う。

[例2]

$$\ddot{x}+\omega ^2x=0$$ (7.24)

の場合

$$\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=x_2 \\ \dot{x}_2=-\omega ^2x_1 \end{array} \right.$$ (7.25)

となる。これに$Z$変換の近似式を用いると

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{\displaystyle{2}}{\displayst... ...aystyle{1+Z^{-1}}}X_2(Z)=-\omega ^2X_1(Z) \end{array} \right.$$ (7.26)

となるので、これを差分方程式で表現すると、

$$\left\{ \begin{array}{l} x_1(k)=x_1(k-1)+\frac{\displaystyl... ... ^2T}}{\displaystyle{2}}[x_1(k)+x_1(k-1)] \end{array} \right.$$ (7.27)

両辺より$x_2(k)$を消去すると

$$x_1(k)=\frac{4-\omega ^2T^2}{4+\omega ^2T^2}x_1(k-1) -\frac{4T}{4+\omega^2T^2}x_2(k-1)$$ (7.28)

となるので、この式を計算機に適用することができる。