状態遷移法

線形システムのシミュレーションの数値法として状態変数に基づくものが広く用 いられるようになってきた。

すなわち

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{\displaystyle{\mathrm{d}\mbo... ...math$y$}=\mbox{\boldmath$CX$}+\mathrm{d}u \end{array} \right.$$ (7.40)

で表されるシステムの入力$u(t)$を断片的な定数で等価的に表し

$$\begin{array}{c} u(t) : u(kT+\tau)=u(kT) \\ 0 \leq \tau < T \end{array}$$

として離散値系の状態方程式

$$\left\{ \begin{array}{l} \mbox{\boldmath$X$}[(k+1)T]=e^{\mb... ...h$y$}(kT)=\mbox{\boldmath$CX$}(kT)+du(kT) \end{array} \right.$$ (7.41)

として表され

$$\begin{array}{lr} \mbox{\boldmath$A$}(T)=e^{\mbox{\boldmat... ...ox{\boldmath$F$}\tau}d\tau\cdot\mbox{\boldmath$G$} \end{array}$$

とすれば

$$\mbox{\boldmath$X$}(k+1)=\mbox{\boldmath$A$}(T)\mbox{\boldmath$X$}(k)+\mbox{\boldmath$B$}(T)u(k)$$ (7.42)

で計算される。

ここで

$$\mbox{\boldmath$A$}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{\mbox{\boldmath... ...$F$}^iT^i}{i!} \equiv \mbox{\boldmath$M$}+\mbox{\boldmath$R$}$$ (7.43)

として、 $\mbox{\boldmath$R$}$が $\mbox{\boldmath$M$}$に対して十分小さくなるように$L$を選択すれば、 $\dot{\mbox{\boldmath$M$}}$ をもって $\mbox{\boldmath$A$}$の近似とすることができる。

$$\mbox{\boldmath$B$}=(e^{\mbox{\boldmath$F$}T}-\mbox{\boldmath$I$})\mbox{\boldmath$F$}^{-1}\mbox{\boldmath$G$}$$ (7.44)

であるから、(7.43)式を代入して

$$\mbox{\boldmath$B$}=T\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\mbox{\boldmath$F$}^iT^i}{(j+1)!}\mbox{\boldmath$G$}$$ (7.45)

となり、これも$j=0\sim L$として近似的に求められる。

$\mbox{\boldmath$A$},\mbox{\boldmath$B$}$はそれぞれ

$$\left\{ \begin{array}{lcl} \mbox{\boldmath$A$} & =\hspace{-... ...right\} \right) \cdot \mbox{\boldmath$G$} \end{array} \right.$$ (7.46)

で表されるから、内側の括弧内から計算をするようにすれば、類似の計算の 繰り返しで行なえる。

[例]

$$\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1=x_2 \\ \dot{x}_2=-\omega ^2x_1 \end{array} \right.$$ (7.47)

の場合

$$\mbox{\boldmath$F$} = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\omega ^2 & 0 \end{array} \right]$$ (7.48)

ゆえ

$$e^{\mbox{\boldmath$F$}t} = \left[ \begin{array}{cc} \cos \o... ...\ -\omega \sin \omega t & \cos \omega t \end{array} \right]$$ (7.49)

したがって

$$\left[ \begin{array}{c} x_1(k+1) \\ x_2(k+1) \end{array}... ...eft[ \begin{array}{c} x_1(k) \\ x_2(k) \end{array} \right]$$ (7.50)

となるので、$T$を定めれば計算することができる。