同形観測器

状態変数のうち直接測定できない変数を、測定可能な変数から推定する装置が状 態観測器である。

いま、与えられたプラントのシステム方程式を

$$\mbox{\boldmath$x$}(k+1) = \mbox{\boldmath$Ax$}(k) +\mbox{\boldmath$Bu$}(k)$$ (4.314)

$$\mbox{\boldmath$y$}(k) = \mbox{\boldmath$Cx$}(k)$$ (4.315)

とする。 $\mbox{\boldmath$x$}(k)$は可観測とし、 $\mbox{\boldmath$y$}(k)$のみが測定可能とする。ここで 図4.23のように、プラントと同じ構造のモデルを並列に接続し、出力の誤差 $\Delta \mbox{\boldmath$e$}(k)$を

$$\Delta \mbox{\boldmath$e$}(k)=\mbox{\boldmath$y$}(k)-\widehat{\mbox{\boldmath$y$}}(k)$$ (4.316)

のように検出する。ここで $\widehat{\mbox{\boldmath$y$}}(k),\widehat{\mbox{\boldmath$x$}}(k)$は推定値 を意味する。この誤差に $\mbox{\boldmath$H$}$なる重みを掛けて $\widehat{\mbox{\boldmath$x$}}(k+1)$の所 にフィードバックさせる。このモデルが収束すれば、その時の $\widehat{\mbox{\boldmath$x$}}(k)$は $\mbox{\boldmath$x$}(k)$に追随をし、したがって $\widehat{\mbox{\boldmath$x$}}(k)$から全状態変数が観測できる。このような観測器を Luenbergerの状態観測器、または同形観測器という。

この場合 $\mbox{\boldmath$H$}$は $\widehat{\mbox{\boldmath$x$}}(k+1)$が $\mbox{\boldmath$x$}(k+1)$になるように選定さ れる。

図 4.23:

図より

$$\widehat{\mbox{\boldmath$x$}}(k+1) = \mbox{\boldmath$A$}\widehat{\mbox{\boldmath$x$}}(k)+\mbox{\boldmath$Bu$}(k) +\mbox{\boldmath$H$}\Delta \mbox{\boldmath$e$}(k)$$

$$= \mbox{\boldmath$A$}\widehat{\mbox{\boldmath$x$}}(k)+\mbox{\boldma... ...H$}[\mbox{\boldmath$y$}(k)-\mbox{\boldmath$C$}\widehat{\mbox{\boldmath$x$}}(k)]$$ (4.317)

と書ける。いま状態変数の誤差を $\Delta \mbox{\boldmath$x$}(k)$とすると

$$\Delta \mbox{\boldmath$x$}(k+1)=\mbox{\boldmath$x$}(k+1)-\widehat{\mbox{\boldmath$x$}}(k+1)$$ (4.318)

である。これに(4.315)、(4.318)式を代入すると

$$\Delta \mbox{\boldmath$x$}(k+1) = \mbox{\boldmath$Ax$}(k) +\mbox{\boldmath$Bu$}(k)$$

$$ -[\mbox{\boldmath$A$}\widehat{\mbox{\boldmath$x$}}(k)+\mbox{\bold... ...\mbox{\boldmath$y$}(k)-\mbox{\boldmath$C$}\widehat{\mbox{\boldmath$x$}}(k) \} ]$$

$$= \mbox{\boldmath$A$}\Delta \mbox{\boldmath$x$}(k)+\mbox{\boldmath$HC$}\Delta\mbox{\boldmath$x$}(k)$$

$$= (\mbox{\boldmath$A$}-\mbox{\boldmath$HC$})\Delta \mbox{\boldmath$x$}(k)$$ (4.319)

となる。初期誤差 $\Delta \mbox{\boldmath$x$}(0)$に対し

$$\lim_{k\to \infty}\Delta \mbox{\boldmath$x$}(k)=0$$ (4.320)

となるようにすれば収束をする。その為には

$$\det[Z\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}+\mbox{\boldmath$HC$}]=(Z-Z_1)(Z-Z_2)\cdots (Z-Z_n)=0$$ (4.321)

の根$Z_i$がすべて単位円内にあるように、すなわち

$$\vert Z_i\vert < 1\ \ \ i=1,2,\cdots ,n$$ (4.322)

となるように $\mbox{\boldmath$H$}$を選定する。

一般に行列の行列式は、その行列を転置しても変わらない。すなわち

$$\det[Z\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}+\mbox{\boldmat... ...ox{\boldmath$A$}^T+\mbox{\boldmath$C$}^T\mbox{\boldmath$H$}^T]$$ (4.323)

である。そこでいま

$$\widetilde{\mbox{\boldmath$x$}}(k+1) = \mbox{\boldmath$A$}^T\widetilde{\mbox{\boldmath$x$}}(k) +\mbox{\boldmath$C$}^T\widetilde{\mbox{\boldmath$u$}}(k)$$ (4.324)

$$\widetilde{\mbox{\boldmath$u$}}(k) = -\mbox{\boldmath$H$}^T\widetilde{\mbox{\boldmath$x$}}(k)$$ (4.325)

というような系を考える。この系の閉ループの特性方程式は

$$\det[Z\mbox{\boldmath$I$}-\mbox{\boldmath$A$}^T+\mbox{\boldmath$C$}^T\mbox{\boldmath$H$}^T]$$

であり、(4.324)式に等しい。したがって、観測器が収束するような $\mbox{\boldmath$H$}$を選定するには、(4.325)、(4.326)式の閉ループ 系が漸近安定となる $\mbox{\boldmath$H$}$を求めればよい。

それには4.6節(4)項で述べた極配置法または4.7節で述べた 最適制御法等を用いて決定することができる。